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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 28.11.2010 | | Autor: | m51va |
hi liebe leude,
ich habe ein probelm und zwar gehts um
[mm] $\operatorname{rot} (\vec{f}\times \vec{g}) [/mm] = ( [mm] \vec{g}\cdot \operatorname{grad})\vec{f} [/mm] - [mm] (\vec{f}\cdot \operatorname{grad})\vec{g} [/mm] + [mm] \vec{f}(\operatorname{div}\vec{g}) [/mm] - [mm] \vec{g}(\operatorname{div}\vec{f})$
[/mm]
beim meinem Problem gehts auch nicht um den Beweis dieser aussage sondern einfach nur ums verständnis. Wie liest man [mm] $(\vec{g}\cdot \operatorname{grad})\vec{f}$? [/mm] ich kenne das eigentlich so, dass hinter den Differentialoperator immer das steht auf was er angewendet werden soll. Ich würde es daher als [mm] $\vec{g}\cdot \operatorname{grad} \vec{f}$ [/mm] interpretieren. Da kommt dann aber gleich die nächste frage, der Gradient eines Vektors ist doch eine Matrix oder nicht? das haut mit dem physikalischen Hintergrund zu der Aufgabe nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi liebe leude,
> ich habe ein probelm und zwar gehts um
> [mm]\operatorname{rot} (\vec{f}\times \vec{g}) = ( \vec{g}\cdot \operatorname{grad})\vec{f} - (\vec{f}\cdot \operatorname{grad})\vec{g} + \vec{f}(\operatorname{div}\vec{g}) - \vec{g}(\operatorname{div}\vec{f})[/mm]
>
> beim meinem Problem gehts auch nicht um den Beweis dieser
> aussage sondern einfach nur ums verständnis. Wie liest man
> [mm](\vec{g}\cdot \operatorname{grad})\vec{f}[/mm]? ich kenne das
> eigentlich so, dass hinter den Differentialoperator immer
> das steht auf was er angewendet werden soll. Ich würde es
> daher als [mm]\vec{g}\cdot \operatorname{grad} \vec{f}[/mm]
> interpretieren.
Richtig.
> Da kommt dann aber gleich die nächste
> frage, der Gradient eines Vektors ist doch eine Matrix oder
> nicht?
Ja, und wenn du die von links mit dem Vektor [mm] $\vec{g}$ [/mm] multiplizierst, kommt wieder ein Vektor raus.
> das haut mit dem physikalischen Hintergrund zu der
> Aufgabe nicht hin.
Wieso nicht?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 28.11.2010 | | Autor: | m51va |
| Aufgabe | Das Potential eines magnetischen Dipols ist gegeben durch [mm] \vec{A}(\vec{r}) [/mm] = [mm] \bruch{\mu_0}{4\pi}\cdot \bruch{\vec{m}\times\vec{r}}{|\vec{r}|^3}. [/mm] Zeigen sie dass sich das magnetische Feld [mm] \vec{B} [/mm] des Dipols wie folgt darstellen lässt:
[mm] \vec{B}(\vec{r}) [/mm] = [mm] -\bruch{\mu_0}{4\pi |\vec{r}|^3}\left( \vec{m} - 3(\vec{m}\cdot\vec{r})\cdot \bruch{\vec{r}}{|\vec{r}|^2} \right) [/mm] |
das war die ursprüngliche aufgabe.
für das Magnetfeld B muss ich die Rotation von A berechnen, also
[mm] \vec{B}(\vec{r}) [/mm] = [mm] \bruch{\mu_0}{4\pi}\cdot \operatorname{rot}\left( \bruch{\vec{m}\times\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \right).
[/mm]
dann die produktregel
[mm] =\bruch{\mu_0}{4\pi}\cdot \left( \bruch{1}{|\vec{r}|^3}\cdot \operatorname{rot}(\vec{m}\times \vec{r}) + \operatorname{grad}\bruch{1}{|\vec{r}|^3}\times(\vec{m}\times\vec{r}\right)
[/mm]
den letzten term kann ich berechnen. bei dem ersten term habe ich die oben verwendete formel genommen.
> Ja, und wenn du die von links mit dem Vektor [mm]\vec{g}[/mm]
> multiplizierst, kommt wieder ein Vektor raus.
aber ich kann eine matrix von links doch nur mit einem Spaltenvektor multiplizieren! [mm] \vec{g} [/mm] oder nachher mit meinen bezeichnungen von oben [mm] \vec{m} [/mm] ist aber in Zeilenvektor... m ist das magnetsiche moment
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das Potential eines magnetischen Dipols ist gegeben durch
> [mm]\vec{A}(\vec{r})[/mm] = [mm]\bruch{\mu_0}{4\pi}\cdot \bruch{\vec{m}\times\vec{r}}{|\vec{r}|^3}.[/mm]
> Zeigen sie dass sich das magnetische Feld [mm]\vec{B}[/mm] des
> Dipols wie folgt darstellen lässt:
> [mm]\vec{B}(\vec{r})[/mm] = [mm]-\bruch{\mu_0}{4\pi |\vec{r}|^3}\left( \vec{m} - 3(\vec{m}\cdot\vec{r})\cdot \bruch{\vec{r}}{|\vec{r}|^2} \right)[/mm]
>
> das war die ursprüngliche aufgabe.
> für das Magnetfeld B muss ich die Rotation von A
> berechnen, also
> [mm]\vec{B}(\vec{r})[/mm] = [mm]\bruch{\mu_0}{4\pi}\cdot \operatorname{rot}\left( \bruch{\vec{m}\times\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \right).[/mm]
>
> dann die produktregel
> [mm]=\bruch{\mu_0}{4\pi}\cdot \left( \bruch{1}{|\vec{r}|^3}\cdot \operatorname{rot}(\vec{m}\times \vec{r}) + \operatorname{grad}\bruch{1}{|\vec{r}|^3}\times(\vec{m}\times\vec{r}\right)[/mm]
>
> den letzten term kann ich berechnen. bei dem ersten term
> habe ich die oben verwendete formel genommen.
Genau. Da [mm] $\vec{m}$ [/mm] konstant und [mm] $\operatorname{grad}\vec{r}$ [/mm] die Einheitsmatrix [mm] $\mathbf{1}$ [/mm] ist:
[mm] \operatorname{rot}(\vec{m}\times \vec{r}) = ( \vec{r}\cdot \operatorname{grad})\vec{m} - (\vec{m}\cdot \operatorname{grad})\vec{r} + \vec{m}(\operatorname{div}\vec{r}) - \vec{r}(\operatorname{div}\vec{m}) = -\vec{m} * \mathbf{1} +3\vec{m}= 2\vec{m} [/mm] .
> > Ja, und wenn du die von links mit dem Vektor [mm]\vec{g}[/mm]
> > multiplizierst, kommt wieder ein Vektor raus.
>
> aber ich kann eine matrix von links doch nur mit einem
> Spaltenvektor multiplizieren! [mm]\vec{g}[/mm] oder nachher mit
> meinen bezeichnungen von oben [mm]\vec{m}[/mm] ist aber in
> Zeilenvektor
Also erst einmal ist es umgekehrt: von links mit einer Zeile, von rechts mit einer Spalte. Und in der von dir verwendeten Formel steht das [mm] $\vec{g}$ [/mm] links vom Skalarprodukt [mm] $\cdot$, [/mm] ist also als Zeile gemeint.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 28.11.2010 | | Autor: | m51va |
> Genau. Da [mm]\vec{m}[/mm] konstant und [mm]\operatorname{grad}\vec{r}[/mm]
> die Einheitsmatrix [mm]\mathbf{1}[/mm] ist:
dass [mm]\operatorname{grad}\vec{r}[/mm] die Einheitsmatrix [mm]\mathbf{1}[/mm] ist ist mir klar.
> [mm]\operatorname{rot}(\vec{m}\times \vec{r}) = ( \vec{r}\cdot \operatorname{grad})\vec{m} - (\vec{m}\cdot \operatorname{grad})\vec{r} + \vec{m}(\operatorname{div}\vec{r}) - \vec{r}(\operatorname{div}\vec{m}) = -\vec{m} * \mathbf{1} +3\vec{m}= 2\vec{m}[/mm]
damit hab ich noch schwierigkeiten: [mm] -\vec{m} [/mm] * [mm] \mathbf{1}
[/mm]
m ist doch ein spaltenvektor. wie kann ich den denn mit einer matrix multiplizieren? wenn m zeilenvektor ist wäre (meiner ansicht nach) alles oaky... aber so... kannst du das vielleicht nochma erläutern
> Also erst einmal ist es umgekehrt: von links mit einer
> Zeile, von rechts mit einer Spalte. Und in der von dir
> verwendeten Formel steht das [mm]\vec{g}[/mm] links vom
> Skalarprodukt [mm]\cdot[/mm], ist also als Zeile gemeint.
sorry ich hab grad zeilen- und spaltenvektor verwechselt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 So 28.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo m51va,
mir scheint es erwähnenswert, dass es auch folgende Sichtweise gibt:
[mm] $(\vec{g}\cdot \vec{\nabla})\vec{f} [/mm] = [mm] (g_x\cdot \partial_x [/mm] + [mm] g_y\cdot \partial_y+ g_z\cdot \partial_z)\vec{f}= [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
(g_x\cdot \partial_x + g_y\cdot \partial_y+ g_z\cdot \partial_z) f_x \\
(g_x\cdot \partial_x + g_y\cdot \partial_y+ g_z\cdot \partial_z) f_y\\
(g_x\cdot \partial_x + g_y\cdot \partial_y+ g_z\cdot \partial_z) f_z
\end{pmatrix}$
[/mm]
Dabei wird [mm] $(\vec{g}\cdot \vec{\nabla})$ [/mm] als skalare Größe und [mm] '$\cdot$' [/mm] als Skalarprodukt aufgefasst.
[mm] $(\vec{g}\cdot \vec{\nabla})\vec{f}$ [/mm] liest sich also als Skalar mal Vektor.
LG mathfunnel
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