Vektorbestimmung aus cos < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Hallo zusammen,
ich hab eine recht triviale Frage, die mich aber schier um den Verstand bringt.
Zunächst einmal werde ich die Aufgabenstellung erläutern:
[mm] |\vec{a}| [/mm] = 15
[mm] |\vec{b}| [/mm] = 10
cos [mm] (\vec{e}_{1}, \vec{a}) [/mm] = 0,6
cos [mm] (\vec{e}_{2}, \vec{a}) [/mm] = 0,8
cos [mm] (\vec{e}_{1}, \vec{b}) [/mm] = 0,4
cos [mm] (\vec{e}_{2}, \vec{a}) [/mm] = 0,6
Meine Aufgabe ist es nun die Koordinaten der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] zu berechnen.
Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
cos [mm] \vec{a}\vec{b} [/mm] = [mm] \bruch{\vec {a}\vec{b}}{| \vec {a} | |\vec{b}|} [/mm] stelle ich für die relevanten Vektoren um:
[mm] \vec{a}: [/mm]
0,6 = [mm] \bruch{ \pmat{1 & 0} \vektor{a_{1}\\a_{2}}}{ \wurzel[2]{ 1^{2}}*15}
[/mm]
[mm] a_{1}= [/mm] 9
0,8 = [mm] \bruch{ \pmat{0 & 1} \vektor{a_{1}\\a_{2}}}{ \wurzel[2]{ 1^{2}}*15}
[/mm]
[mm] a_{2}= [/mm] 12
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 12}
[/mm]
Für Vektor [mm] \vec{b} [/mm] genau mit dem selben Prinzip:
[mm] \vec{b}: [/mm]
0,4 = [mm] \bruch{ \pmat{1 & 0} \vektor{b_{1}\\b_{2}}}{ \wurzel[2]{ 1^{2}}*10}
[/mm]
[mm] b_{1}= [/mm] 4
0,6 = [mm] \bruch{ \pmat{0 & 1} \vektor{b_{1}\\b_{2}}}{ \wurzel[2]{ 1^{2}}*10}
[/mm]
[mm] b_{2}= [/mm] 6
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 6}
[/mm]
Mein Problem ist nun, wenn ich jetzt zur Probe [mm] |\vec{b}| [/mm] berechne, komme ich auf [mm] |\wurzel{52}|, [/mm] anstatt auf 10, so wie es in der Aufgabenstellung gegeben war.
Wo liegt mein Fehler?
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Hi, Strenni,
Ich gehe davon aus, dass es sich um Vektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] handelt!?
In Deinem erst Beispiel gilt:
Der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] bildet mit der x-Achse einen Winkel von 53,13°, mit der y-Achse einen Winkel von 36,87°; ergibt zusammen: 90°. Passt!
Beim Vektor [mm] \vec{b} [/mm] aber soll der Winkel mit der x_Achse 66,42° betragen, mit der y-Achse 53,13°. Das passt beim besten Willen nicht zusammen!
Könnte es nicht sein, dass Du Dich verschrieben hast und [mm] cos(\vec{e_{1}};\vec{b}) [/mm] = 0,8 sein soll?
Dann wäre nämlich [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 6} [/mm] und die Sache käme in Ordnung!
Oder sind's doch Vektoren im [mm] \IR^{3}?
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Herzlichen Dank, zwerglein, dann war meine verrunzelte Stirn also tatsächlich nicht ohne Begründung verrunzelt - da hat sich entweder unser Lehrer explizit etwas dabei gedacht oder er hat sich einfach nur verschrieben.
Auf 6 und 8, bzw. 8 und 6 für den Vektor b kam ich nämlich auch beim Rumprobieren ( mit [mm] 10^{2} [/mm] bleiben nicht soviele verschiedene Möglichkeiten, wenn man von ganzen Zahlen als Lösung ausgeht ;) ).
Also nochmal herzlichen Dank - auf die 90° sollte ich in Zukunft etwas besser aufpassen. ;)
Ich wünsche ein schönes Wochenende.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Wobei... was passiert eigentlich, bzw. was ist zu beachten, wenn wir vom [mm] \IR^{3} [/mm] reden und nicht vom [mm] \IR^{2}?
[/mm]
In der Aufgabenstellung ist dazu kein Hinweis gegeben. Und da nur von [mm] \vec{e}_{1} [/mm] und [mm] \vec{e}_{2} [/mm] die Rede war, ging ich davon aus, dass wir im zweidimensionalen Raum waren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Strenni!
Die Formeln übertragen sich in kanonischer Weise ins Dreidimensionale. Du musst dann also einfach nur das Skalarprodukt im Zähler für Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] berechnen. (Wie du siehst, ändert sich dann gar nichts, da die dritte Koordinaten eh nicht eingeht in die Rechnung.)
Beachte, dass du dann natürlich einen Freiheitsgrad mehr hast. Während du auf [mm] $a_3=0$ [/mm] schließen kannst (warum?), ist das Vorzeichen von [mm] $b_3$ [/mm] unbestimmt (den Betrag von [mm] $b_3$ [/mm] kannst du aber bestimmen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Okidoki, dachte schon, im [mm] \IR^{3} [/mm] wären dann irgendwelche wilden Sachen möglich, obwohl keine "dritte Dimension" angegeben war und man vielleicht durch irgendwelche "Zaubertricks" dann doch auf eine Lösung hätte kommen können. ;)
Also, nochmal herzlichen Dank für die schnellen Antworten. Ihr habt mir sehr weitergeholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 So 25.09.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Strenni,
naja sicher ist es wichtig, ob der [mm] \IR^{2} [/mm] oder der [mm] \IR^{3} [/mm] gemeint ist, denn im [mm] \IR^{3} [/mm] wäre bei Deinen ursprünglichen Angaben z.B. der Vektor
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ \wurzel{48}} [/mm] als Lösung brauchbar!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 So 25.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Danke für den Hinweis, Zwerglein. Das werd ich mir jetzt nochmal zu Gemüte führen und durchgehen. Aus der Aufgabenstellung geht, wie gesagt, nicht hervor, in welchem Raum sich die Vektoren befinden. Ich zitiere mal: "Zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind durch ihre Beträge ... und je zwei Richtungskosinus ... gegeben. Man berechne..."
Vielleicht hat sich mein Prof. doch nicht vertan und einzig dadurch hätte ich selber darauf schließen müssen, dass wir uns im [mm] \IR^{3} [/mm] befinden?! Aber was ist dann mit dem Einwand, dass bei den Winkeln von Vektor [mm] \vec{b} [/mm] in der Probe nicht 90° herauskommen? Ich denke, dieser Einwand hat dann im [mm] \IR^{3} [/mm] keine Gültigkeit mehr, oder?
Wie gesagt, ich seh es mir jetzt gleich selber nochmal an, vielleicht macht's dann endlich 'Klick'. ;)
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Bei einer zweiten Aufgabe bin ich nun auch auf ein Problem gestoßen. Ich bin mal so frei und schreib es hier in den Strang mit hinein. Ich hoffe, das geht okay. Es geht mir dabei eigentlich auch nur um einen kleinen Hinweis, ob ich richtig an die Aufgabe herangehe.
Zur Aufgabenstellung:
Man bestimme zwei Zahlen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so, dass der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{e}_{1} [/mm] + [mm] \alpha\vec{e}_{2} [/mm] + [mm] \beta\vec{e}_{3} [/mm] auf den Vektoren [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] -\vec{e}_{1} [/mm] + [mm] 4\vec{e}_{2} [/mm] + [mm] 2\vec{e}_{3} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] 3\vec{e}_{1} [/mm] - [mm] 3\vec{e}_{2} [/mm] - [mm] \vec{e}_{3} [/mm] senkrecht steht.
Ich dachte zunächst: "Ist ja echt banal, man macht [mm] \vec{a} [/mm] einfach zum Normalenvektor und schaut was beim Kreuzprodukt von [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{c} [/mm] herauskommt. Mein [mm] \alpha [/mm] und mein [mm] \beta [/mm] sollten somit ja einfach zu bestimmen sein..."
Aber denkste! Beim Kreuzprodukt bekomme ich [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ -9} [/mm] heraus, was meine Theorie über den Haufen wirft. Die 2 in der ersten Zeile stört halt... Hmm, falscher Denkansatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 So 25.09.2005 | | Autor: | Paulus |
>
> Bei einer zweiten Aufgabe bin ich nun auch auf ein Problem
> gestoßen. Ich bin mal so frei und schreib es hier in den
> Strang mit hinein. Ich hoffe, das geht okay. Es geht mir
> dabei eigentlich auch nur um einen kleinen Hinweis, ob ich
> richtig an die Aufgabe herangehe.
>
> Zur Aufgabenstellung:
> Man bestimme zwei Zahlen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so, dass der
> Vektor [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{e}_{1}[/mm] + [mm]\alpha\vec{e}_{2}[/mm] +
> [mm]\beta\vec{e}_{3}[/mm] auf den Vektoren [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]-\vec{e}_{1}[/mm] +
> [mm]4\vec{e}_{2}[/mm] + [mm]2\vec{e}_{3}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]3\vec{e}_{1}[/mm] -
> [mm]3\vec{e}_{2}[/mm] - [mm]\vec{e}_{3}[/mm] senkrecht steht.
>
> Ich dachte zunächst: "Ist ja echt banal, man macht [mm]\vec{a}[/mm]
> einfach zum Normalenvektor und schaut was beim Kreuzprodukt
> von [mm]\vec{b}[/mm] x [mm]\vec{c}[/mm] herauskommt. Mein [mm]\alpha[/mm] und mein
> [mm]\beta[/mm] sollten somit ja einfach zu bestimmen sein..."
> Aber denkste! Beim Kreuzprodukt bekomme ich [mm]\vektor{2 \\ 5 \\ -9}[/mm]
> heraus, was meine Theorie über den Haufen wirft. Die 2 in
> der ersten Zeile stört halt... Hmm, falscher Denkansatz?
Das wirft die Theorie doch nicht über den Haufen! Du brauchst diesen Vektor ja nur durch 2 zu dividieren (damit zeigt er ja immer noch in die gleiche Richtung)!
Man hätte auch so vorgehen können: Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
[mm] $\vektor{1\\a\\b}*\vektor{-1\\4\\2}=0$
[/mm]
[mm] $\vektor{1\\a\\b}*\vektor{3\\-3\\-1}=0$
[/mm]
Dies führt zum Gleichungssystem
$4a+2b=1$
$-3a-b=-3$
Das löst du nach a und b auf.
Gruss
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 So 25.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Herzlichen Dank für die mitternächtliche Hilfestellung, Paulus. Da hab ich wohl einfach nicht zu Ende gedacht. :) Ich bin wohl auch zu einfach zu verwirren, wenn nicht alles gleich glatt aussieht...
Ich wünsch Dir noch ne gute Nacht oder falls Du wie ich Dir die Zeit bis zum Klitschko-Kampf mit Mathe-Aufgaben um die Ohren schlägst, noch viele erleuchtende Momente. ;)
@Zwerglein: Ich hab die komplette Aufgabe nochmal im [mm] \IR^{3} [/mm] durchgerechnet (u.a. ist die Winkelberechnung und die Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b} [/mm] dabei) und muss sagen, die Ergebnisse sehen jetzt auch viel 'schöner' aus. :)
Ich denke, dass wir auf den [mm] \IR^{3} [/mm] kommen mussten, war auch die Intension unseres Professors, weshalb Teilaufgabe a) sicherlich die Richtungswinkelbestimmung war, in der wir vielleicht schon hätten erkennen müssen, dass eine Lösung für den [mm] \IR^{2} [/mm] nicht bestimmbar ist. Also nochmal herzlichen Dank für Deinen hilfreichen Hinweis. Ich denke, so passt es jetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 25.09.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Strenni,
alles klar!
Aber vergiss' Stefans Hinweis nicht:
Der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] ist NICHT EINDEUTIG bestimmbar!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Strenni!
> Danke für den Hinweis, Zwerglein. Das werd ich mir jetzt
> nochmal zu Gemüte führen und durchgehen. Aus der
> Aufgabenstellung geht, wie gesagt, nicht hervor, in welchem
> Raum sich die Vektoren befinden. Ich zitiere mal: "Zwei
> Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] sind durch ihre Beträge ...
> und je zwei Richtungskosinus ... gegeben. Man berechne..."
> Vielleicht hat sich mein Prof. doch nicht vertan und
> einzig dadurch hätte ich selber darauf schließen müssen,
> dass wir uns im [mm]\IR^{3}[/mm] befinden?! Aber was ist dann mit
> dem Einwand, dass bei den Winkeln von Vektor [mm]\vec{b}[/mm] in der
> Probe nicht 90° herauskommen? Ich denke, dieser Einwand hat
> dann im [mm]\IR^{3}[/mm] keine Gültigkeit mehr, oder?
Nein, dieser Einwand hat in diesem Fall keine Gültigkeit mehr, da man ja [mm] $b_3$ [/mm] auf zwei (!) Arten zu [mm] $\vec{b}$ [/mm] ergänzen kann, so dass alles stimmt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:17 So 09.10.2005 | | Autor: | Strenni |
Wollte mich auf diesem Wege einfach nochmal bei Euch bedanken - in der Prüfung kam ne 2,7 heraus und ich bin sehr zufrieden. :)
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