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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(1|1| 3) und B(−15 |17 |11) sowie die Gerade
g: [mm] \vec{a}= \vektor{13\\ -5 \\3 }+r\vektor{-2\\ 2 \\1 }
[/mm]
a) Der Punkt C(−4 |15 |1) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Basis sowie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
b) Weisen Sie nach, dass es einen Punkt D auf der Geraden g gibt, so dass die Punkte A, B
und D ein gleichschenkliges Dreieck ABD mit der Basis AB bilden.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D. |
Hey du, ich schreibe morgen Vorabi in Mathe und habe im Internet dazu eine Übungsaufgabe gefunden, die vom Niedersächsichen Kultusministerium erstellt wurde.
Aus diesem Anlass möchte ich siemit deiner Hilfe bewältigen, weil ich allein Probleme damit habe.
Meine Gedanken dazu:
a) Um nachzuweisen, dass das Dreieck gleichschenklig ist reicht es doch lediglich aus, die Länger der jeweiligen Vektoren auszurechnen und anschließend zu schauen, ob nich mindestens zwei Vektoren gleichlang sind (das ist nämlich die Bedingung bei Gleichschenkligkeit) !?:
d.h
[mm] |\vec{a}|=\wurzel{1^2+1^2+3^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{9}
[/mm]
=3
Der Vektor A hat die Länge 9.
[mm] |\vec{b}|=\wurzel{15^2+17^2+11^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{635}
[/mm]
=25,55
[mm] |\vec{c}|=\wurzel{4^2+15^2+1^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{235}
[/mm]
=15,33
Komisch, leider kann ich das damit nich nachweisen...hast du eine bessere Idee?
Wenn ja bitte ich um Auflösung.
-Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Basis sowie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:
Mittelpunkt der Basis : (Die Basis ist Vektor a, die Hälfte davon ist der Mittelpunkt, richtig!?)
[mm] \vec{a}=\bruch{1}{2}\wurzel{1^2+1^2+3^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\wurzel{11}
[/mm]
=1,658
Der Mittelpunkt der Basis beträgt 1,658 Einheiten!
Flächeninhalt:
Hier würde ich mit der Formel von Heron berechnen, also
[mm] A=\bruch{\wurzel{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}
[/mm]
Ist das der richtige Weg?
b)
AB=DC
Dazu rechne ich den Vektor aus B-A und C-A aus.
A(1|1| 3), B(−15 |17 |11), C(−4 |15 |1), [mm] D(d_1/d_2/d_3)
[/mm]
[mm] \vektor{-15-1 \\ 17-1 \\11-33 } [/mm] und
[mm] \vektor{-4-d_1 \\ 15-d_2 \\1-d_3 }
[/mm]
Iwie war das so in der Art..
Ich habe eine andere Überlegung:
[mm] \vektor{-15\\ 17 \\11}-\vektor{1 \\ 1 \\ 33 }-\vektor{4\\ 15 \\1}-\vektor{d_1\\ d_2 \\ d_3}
[/mm]
Anschließend nach d auflösen?
Ich habe eine Bitte. Ich habe meinen Ansatz beschrieben doch leider habe ich Probleme mit der Anwendung.
Ich weiß wie man es errechnet..
Es wäre echt super, wenn du mir den Weg anhand der Zahlen zeigen könntest!
Danke im voraus!!!!!
LG Ridvo
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Hallo Ridvo,
zu a)
Dein Ansatz ist leider falsch. Die Länge die du dort berechnest ist die Länge des Ortsvektors der Punkte A,B,C und nicht die Länge der Seiten im Dreieck. Um diese zu errechnen musst du den Betrag der Vektoren [mm]\vec AB[/mm], [mm]\vec AC[/mm] und [mm]\vec BC[/mm].
Wie man diese Vektoren errechnet solltest du ja eigtl. wissen.
Zum Thema Mittelpunkt der Basis. Deine Antwort ist leider wieder falsch. Ein Punkt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, kann niemals blos eine Angabe bezüglich der Position haben. Der Ansatz zur Errechnung des Mittelpunkts lautet: [mm]\vec OM = \vec OA + \bruch{1}{2}\vec AB [/mm]
Für die Fläche des Dreiecks Rate ich dir mal nach "Fläche gleichschenkliges Dreieck" zu googeln. Gibt einige viel verständlichere und unkompliziertere Formeln z.B. auf Wikipedia.
Zu Aufgabe b):
Diese Aufgabe ist bei weitem schwieriger und ich rate dir dich erstmal weiter mit den oberen Themen auseinanderzusetzen. Solltest du es doch versuchen wollen ist hier der Ansatz:
Du musst den verschiebaren Vektor [mm]\vec OX[/mm] auf g nehmen und die Vektoren [mm]\vec AX[/mm] und [mm]\vec BX[/mm] errechnen. Dann errechnest du den Betrag der beiden und setzt sie gleich. Nun kannst du nach r auflösen und das Ergebnis in den Vektor [mm]\vec OX[/mm] einsetzen um den Punkt D zu erhalten. Nun noch den Betrag der Vektoren [mm]\vec AD[/mm]. und [mm]\vec BD[/mm] errechnen und du siehst das die Seiten gleichschenklig sind.
Wenn du etwas nicht verstehst frag ruhig nach und poste deine Ergebnisse.
MfG, ult1m4t3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
Hey ult1m4t3 , danke für deine Antwort.
Das Problem bei mir liegt darin, dass ich gleich arbeite muss (habe einen Nebenjob) und somit nich selbst rechnen kann.
Ich bin nich der Typ, der vorrechnen lässt und sich nich drum bemüht. Dazu kannst du auch bitte meine vorigen Post anschauen, ich bitte sonst nur um Ansätze...
Mir sind die Ergebnisse sehr wichtig, ich bitte dich die Aufgaben vorzurechnen, damit ich sie heute abend nachvollziehen kann.
Es ist mir echt wichtig und es tut mir auch leid so eine freche Antwort zu geben aber das ist meine letzte Möglichkeit vor der Klausur zu üben...
Ich BITTE DICH darum :( Bin total verzweifelt....Bitte...
Tausend Dank, Ridvo
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Hallo Ridvo,
na wenns dir wirklich so wichtig is schreib ich dir meine Lösungen mal auf:
a) [mm]
\overrightarrow{AB} = \vektor{-16 \\ 16 \\ 8}
\overrightarrow{AC} = \vektor{11 \\ -2 \\ -10}
\overrightarrow{BC} = \vektor{-5 \\ 14 \\ -2}
\left| \overrightarrow{AB} \right| = 24
\left| \overrightarrow{AC} \right| = 15
\left| \overrightarrow{BC} \right| = 15
M(-7/9/7)
b)
Verschiebbarer Vektor auf g:
\overrightarrow{OX} = \vektor{13-2r \\ -5+2r \\ 3+r}
Errechnen der Vektoren zu X:
\overrightarrow{AX} = \vektor{12-2r \\ -6+2r \\ r}
\overrightarrow{BX} = \vektor{28-2r \\ -22+2r \\ -8+r}
Errechnen des Betrags der Vektoren:
\left| \overrightarrow{AX} \right| = \wurzel{144-48r+4r^{2}+36-24r+4r^{2}+r^{2}} = \wurzel{9r^{2}-72r+180}
\left| \overrightarrow{BX} \right| = \wurzel{784-112r+4r^{2}+484-88r+4r^{2}+64-16r+r^{2}} = \wurzel{9r^{2}-216r+1332}
Nun wird beides gleichgesetzt und es folgt:
144r = 1152
r=8
Einsetzen von R in \overrightarrow{OX}:
D(-3/11/11)
Zur Probe kann noch der Betrag der Vektoren \overrightarrow{AD} und \overrightarrow{BD} errechnet und verglichen werden.
[/mm]
MfG, ult1m4t3
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