Vektoren - Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
ich hab nur eine kurze Frage:
Wenn ich 5 Vektoren gegeben habe und zeigen soll, dass diese ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] bilden, reicht es dann aus, alle Vektoren in einem GLS gleich null zu setzen und wenn beim Lösen keine Nullzeile entsteht, dann zu sagen, sie sind linear unabhängig und bilden somit ein Erzeugendensystem?
Viele Grüße
Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 01.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Manu3911!
> ich hab nur eine kurze Frage:
> Wenn ich 5 Vektoren gegeben habe und zeigen soll, dass
> diese ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3[/mm] bilden, reicht es
> dann aus, alle Vektoren in einem GLS gleich null zu setzen
(Du meinst etwas anderes als die Vektoren =0 zu setzen.)
> und wenn beim Lösen keine Nullzeile entsteht,
(Das wird der Fall sein.)
> dann zu
> sagen, sie sind linear unabhängig
Nein, aus dem Nichtvorhandensein von Nullzeilen folgt nicht die lineare Unabhängigkeit der 5 Vektoren.
(Hattet ihr bereits die Theorie der Dimension von Vektorräumen?
Falls ja: Die 5 Vektoren sind auf jeden Fall linear abhängig, da [mm] $5>3=dim\;\IR^3$.)
[/mm]
> und bilden somit ein
> Erzeugendensystem?
Aus linearer Unabhängigkeit von Vektoren folgt nicht, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden.
Wenn ihr keinen Algorithmus zum Nachweis der Erzeugendensystem-Eigenschaft kennengelernt habt, solltest du explizit mit der Definition eines Erzeugendensystems arbeiten:
Die 5 Vektoren [mm] $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\in\IR^3$ [/mm] bilden ein Erzeugendensystem von [mm] $\IR^3$, [/mm] falls für alle [mm] $b\in\IR^3$ [/mm] Skalare [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5\in\IR$ [/mm] existieren mit [mm] $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5=b$.
[/mm]
Sei also [mm] $b=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}\in\IR^3$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Gesucht sind nun Skalare [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5\in\IR$ [/mm] mit
(*) [mm] $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}$.
[/mm]
Löse also das Gleichungssystem (*) für deine gegebenen 5 Vektoren [mm] $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$ [/mm] für feste [mm] $b_1,b_2,b_3\in\IR$ [/mm] nach [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5$.
[/mm]
Wenn du stets mindestens eine Lösung erhältst (tatsächlich wirst du sogar unendlich viele erhalten), bilden die 5 Vektoren tatsächlich ein Erzeugendensystem von [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
vielen Dank für deine ausführlichen Erläuterungen.
Ich hab jetzt mal eine konkrete Aufgabe und bin mir nur nicht ganz sicher, was das Ergebnis bedeutet. Hier erstmal meine Matrix der 5 Vektoren, schon soweit wie nötig umgeformt:
$ [mm] \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & b_1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & 2 & b_2-4b_1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 4 & b_3-3b_1\end{array}\right) [/mm] $
Anhand der Matrix hab ich jetzt folgende Gleichungen raus:
$ [mm] \lambda_1=-9b_1-2b_2+10b_3-3\lambda_2-20\lambda_5 [/mm] $
$ [mm] \lambda_3=2b_1+b_2-2b_3+\lambda_2+6\lambda_5 [/mm] $
$ [mm] \lambda_4=-b_3+3b_1+4\lambda_5 [/mm] $
Wie interpretiere ich das ganze jetzt? [mm] \lambda_1, \lambda_3 [/mm] und [mm] \lambda_4 [/mm] hängen ja jetzt jeweils maximal von [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_5 [/mm] ab. Heißt das auch, dass die Vektoren [mm] v_1, v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] linear unabhängig sind oder sind sie linear abhängig, weil sie alle 3 von [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_5 [/mm] abhängen?
Danke!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine ausführlichen Erläuterungen.
> Ich hab jetzt mal eine konkrete Aufgabe und bin mir nur
> nicht ganz sicher, was das Ergebnis bedeutet. Hier erstmal
> meine Matrix der 5 Vektoren, schon soweit wie nötig
> umgeformt:
> [mm]\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & b_1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & 2 & b_2-4b_1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 4 & b_3-3b_1\end{array}\right)[/mm]
>
> Anhand der Matrix hab ich jetzt folgende Gleichungen raus:
> [mm]\lambda_1=-9b_1-2b_2+10b_3-3\lambda_2-20\lambda_5[/mm]
> [mm]\lambda_3=2b_1+b_2-2b_3+\lambda_2+6\lambda_5[/mm]
> [mm]\lambda_4=-b_3+3b_1+4\lambda_5[/mm]
>
> Wie interpretiere ich das ganze jetzt? [mm]\lambda_1, \lambda_3[/mm]
> und [mm]\lambda_4[/mm] hängen ja jetzt jeweils maximal von
> [mm]\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_5[/mm] ab. Heißt das auch, dass die
> Vektoren [mm]v_1, v_3[/mm] und [mm]v_4[/mm] linear unabhängig sind oder sind
> sie linear abhängig, weil sie alle 3 von [mm]\lambda_2[/mm] und
> [mm]\lambda_5[/mm] abhängen?
überlege Dir immer, was das Ziel ist. Du kannst jetzt [mm] $\lambda_4:=0$ [/mm] setzen,
dann ist [mm] $\lambda_5$ [/mm] eindeutig bestimmt. Dann setze etwa [mm] $\lambda_2=0\,,$ [/mm] das liefert erstmal
ein (dann eindeutiges) [mm] $\lambda_3\,,$ [/mm] und ein Blick in die erste Gleichung
auch ein (eindeutiges) [mm] $\lambda_1\,.$
[/mm]
Du musst ja nur zeigen, dass es ein 5-Tupel [mm] $(\lambda_1,...,\lambda_5)$ [/mm] wie gewünscht
gibt. Wir haben jetzt, weil wir ein unterbestimmtes GLS haben, einfach mal
Werte festgelegt und andere berechnet, wobei die Strategie da jetzt schon
eher so war: Irgendwas wählen, einsetzen, und gucken, was sich dann
ergibt, in der Hoffnung, dass kein Widerspruch entsteht (sonst muss man
vielleicht andere Werte festlegen oder andere Variablen wählen, für die
man Werte einsetzt).
Aus der letzten Gleichung siehst Du etwa: Du kannst [mm] $\lambda_4$ [/mm] oder [mm] $\lambda_5$
[/mm]
*festlegen*, aber nicht beide. Du hättest dort jetzt auch [mm] $\lambda_5:=\pi$ [/mm] sagen
können und danach dann [mm] $\lambda_4$ [/mm] berechnen...
P.S. Eine andere Strategie wäre es gewesen: Du hast 5 Vektoren [mm] $v_1,...,v_5$ [/mm] des [mm] $\IR^3=\IR^{3 \times 1}\,.$
[/mm]
Wenn diese den [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen, dann "enthalten sie" eine Basis des [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
Versuche, paarweise verschiedene [mm] $i_1,i_2,i_3 \in \{1,...,5\}$ [/mm] zu finden, so dass
[mm] $\det(v_{i_1},v_{i_2},v_{i_3}) \not=0\,.$
[/mm]
Natürlich sollst Du nun nicht alle ${5 [mm] \choose [/mm] 3}=20$ solcher Kombinationen
durchspielen, sondern einfacher:
Du wirst sicher sofort [mm] $i_1,i_2$ [/mm] so finden, dass
[mm] $v_{i_1},v_{i_2}$ [/mm] linear unabhängig sind.
In [mm] $J:=\{1,...,5\} \setminus \{i_1,i_2\}$ [/mm] gibt es dann nur noch 3 Elemente, es
ist also dann nur noch
[mm] $\det(v_{i_1},v_{i_2},v_j)$ [/mm] für $j [mm] \in [/mm] J$ mit $|J|=3$
zu berechnen. Maximal 3 Determinanten (Du kannst aufhören, sobald Du
eine hast, die nicht Null ist). Ist Dir klar, wieso das funktioniert?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
vielen Dank für die wirklich ausführliche Hilfe, das ist echt nett!
Also ich denke, ich würde deine vorgeschlagene Methode bevorzugen und denk auch, dass ich verstehe warum:
Also dass 2 Vektoren lin. unabh. sind, erkennt man ja meist recht schnell, ich denk dass bekomm ich hin. Und dann weiß ich ja, dass wenn die Determinante der 3x3 Matrix, in der die zwei Vektoren von denen ich weiß, dass sie lin. unabh. sind, und dann noch einer der 3 übriggebliebenen die Spalten sind, ungleich null ist, dass diese drei Vektoren lin. unabh. sind und somit den [mm] \IR^3 [/mm] erzeugen. Ist das korrekt soweit?
Gruß Manu
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>Und dann
> weiß ich ja, dass wenn die Determinante der 3x3 Matrix, in
> der die zwei Vektoren von denen ich weiß, dass sie lin.
> unabh. sind, und dann noch einer der 3 übriggebliebenen
> die Spalten sind, ungleich null ist, dass diese drei
> Vektoren lin. unabh. sind und somit den [mm]\IR^3[/mm] erzeugen. Ist
> das korrekt soweit?
Hallo,
ja, so kannst Du es machen.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 06.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manu,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die wirklich ausführliche Hilfe, das ist
> echt nett!
>
> Also ich denke, ich würde deine vorgeschlagene Methode
> bevorzugen und denk auch, dass ich verstehe warum:
> Also dass 2 Vektoren lin. unabh. sind, erkennt man ja
> meist recht schnell, ich denk dass bekomm ich hin. Und dann
> weiß ich ja, dass wenn die Determinante der 3x3 Matrix, in
> der die zwei Vektoren von denen ich weiß, dass sie lin.
> unabh. sind, und dann noch einer der 3 übriggebliebenen
> die Spalten sind, ungleich null ist, dass diese drei
> Vektoren lin. unabh. sind und somit den [mm]\IR^3[/mm] erzeugen. Ist
> das korrekt soweit?
nur kurz zur Ergänzung: Wie Angela sagt, ist das so okay. Was mir noch
fehlt, ist eine kleine Zusatzüberlegung:
Wir haben dann also eine Basis des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] sagen wir mal
[mm] $\mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3)\,.$
[/mm]
Diese erzeugt auch den [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] d.h. wir wissen: Für jeden $v [mm] \in \IR^3$ [/mm] gibt
es ein (sogar eindeutig bestimmtes) Tupel [mm] $(\lambda_1(v),\lambda_2(v),\lambda_3(v))$ [/mm] mit
[mm] $v=\sum_{k=1}^3 \lambda_k(v)b_k\,.$
[/mm]
Wenn Du nun irgendeinen Vektor $b' [mm] \in \IR^3$ [/mm] zu [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] dazunimmst:
[mm] $\mathcal{B}'=(b_1,b_2,b_3,b')\,,$
[/mm]
dann ist das keine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] mehr (klar?), aber es bleibt ein EZS: Für $v [mm] \in \IR^3$
[/mm]
gilt dann nämlich mit den [mm] $\lambda_k(v)$ [/mm] wie oben
[mm] $v=\left(\sum_{k=1}^3 \lambda_k(v)b_k\right)+0 \cdot b'\,.$
[/mm]
Das ist eine "Minimalüberlegung", die man aber vielleicht auch mal
gemacht/nachvollzogen haben sollte.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 05.12.2014 | | Autor: | huzein |
finde aus den 5 Vektoren 3, die linear unabhängig sind, dann ist die Menge der 3 Vektoren ein EZS des [mm] \mathbb R^3 [/mm] und damit dann auch die Menge der 5 Vektoren.
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