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Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe:
"Ein Vektorraum [mm] V=V_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus V_{k} [/mm] sei die direkte Summe seiner linearen Unterräume [mm] V_{1},...,V_{k}. [/mm] Für i=1,...,k ist die Prokektion [mm] \pi_{1} [/mm] : V [mm] \to V_{i} [/mm] von V auf [mm] V_{i} [/mm] (entlang des Unterraums [mm] V_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus V_{i-1} \oplus V_{i+1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus V_{k} [/mm] ) definiert durch
[mm] \pi_{i}v [/mm] := [mm] v_{i} [/mm] für v = [mm] v_{1} [/mm] + ... + [mm] v_{k} \in [/mm] V.
Zeigen Sie, dass die Abbildungen [mm] \pi_{i} [/mm] linear sind.
Und was soll ich da nun machen und wie? Ich verzweifel langsam an der Mathematik...
Wäre supi, wenn mir da jm weiterhelfen könnte...
DANKE!
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Hallo,
> "Ein Vektorraum [mm]V=V_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus V_{k}[/mm] sei die
> direkte Summe seiner linearen Unterräume [mm]V_{1},...,V_{k}.[/mm]
Das bedeutet, daß sich jedes v [mm] \in [/mm] V auf EINDEUTIGE Weise schreiben läßt als [mm] v=v_1+...+v_k [/mm] mit [mm] v_i \in V_i, [/mm] i=1,...k.
> Für i=1,...,k ist die Prokektion [mm]\pi_{i}[/mm] : V [mm]\to V_{i}[/mm] von
> V auf [mm]V_{i}[/mm] (entlang des Unterraums [mm]V_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus V_{i-1} \oplus V_{i+1} \oplus[/mm]
> ... [mm]\oplus V_{k}[/mm] ) definiert durch
> [mm]\pi_{i}v[/mm] := [mm]v_{i}[/mm] für v = [mm]v_{1}[/mm] + ... + [mm]v_{k} \in[/mm] V.
Für [mm] v=v_1+...+v_k [/mm] mit [mm] v_i \in V_i, [/mm] i=1,...k
ist [mm] \pi_i [/mm] (v)= [mm] \pi_i(v_1+...+v_k )=v_i.
[/mm]
Also: [mm] \pi_1 [/mm] bildet aus die erste Komponente, auf die [mm] V_1-Komponente, [/mm] ab,
[mm] \pi_2 [/mm] auf die [mm] V_2-Komponente, [/mm] usw.
> Zeigen Sie, dass die Abbildungen [mm]\pi_{i}[/mm] linear sind.
Du mußt zeigen, daß [mm] \pi_i(v+v')=\pi_i(v)+\pi_i[v')
[/mm]
und [mm] \pi_i(\alpha v)=\alpha \pi(v)
[/mm]
(v und v' kannst du ja jeweils als Summe schreiben, so daß der i-te Summand [mm] \in V_i [/mm] ist.
Nun sortiere (v+v') entsprechend. [mm] \pi_i [/mm] pickt dann den i-ten Summanden heraus.)
> ...Ich verzweifel
> langsam an der Mathematik...
Langsam? Und jetzt erst??? Dann bist du spät dran: das Semester läuft doch schon seit ein paar Wochen! Was ich sagen will: nahezu alle sind im ersten Semester verzweifelt.
Ich hoffe, Du kommst jetzt weiter.
Gruß v. Angela
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