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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 01.12.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo ihr Alle!
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob dass hier nicht doch ins LA-Forum gehört, wir behandeln es gerade in Numerik.
Ich bin gerade ziemlich verwirrt, was Vektoren und Matrizen angeht.
Wie haben in Linearer Algebra gelernt, dass man einen Vektor als Spalte schreiben kann, und auch als Zeile:
v = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = (x, y, z)
Das geht ja wohl, weil das in Zeilenform ist ja quasi auch ein Punkt, und der Vektor dorthin der Ortvektor oder so, stimmt das so?
Nun hat unser Dozent in Numerik da Unterschiede gemacht. Er schreibt Vektoren in Spaltenform, und wenn der Vektor in Zeilenform geschrieben wird, dann nennt er das [mm] v^{t}, [/mm] einen transponieren Vektor:
[mm] v^{t} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ x & y & z }
[/mm]
Aber das hintere ist doch jetzt definitiv kein Vektor mehr, sonden eine Matrix, oder?
Also ich kenne diesen Begriff "transponiert" aus der Matrizenrechnung, man verdreht die glaube ich dann irgendwie, aber irgendwie verwirrt mich dass voll. Ich weiß zwar, dass Vektoren ja quasi spezielle Matrizen mit nur einer Spalte sind, aber irgendwie ist es einmal gleich bzw. egal und einmal doch nicht.
Das sorgt bei mir jetzt allerdings für nochmehr Verwirrung, besonders wenn es dann auch noch um die Multiplikation zweier Vektoren geht.
Wir haben jetzt heute in der Vorlesung zwei Vektoren miteinander multipliziert, den Spaltenvektor v = [mm] \{x \\ y \\ z} [/mm] mit dem Zeilenvektor [mm] v^{t} [/mm] = (x, y, z) . Das sah dann so aus:
v * [mm] v^{t} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \pmat{ x & y & z } [/mm] = [mm] \pmat{ xx & ... & xz \\ ... & ... & ... \\ zx & ... & zz }
[/mm]
Das ist doch nun eine Matrixmultiplikation, oder?
Weil wenn man Vektoren skalar multipliziert, erhält man ja eine Zahl und beim Kreuzprodukt wieder einen Veltor. Aber unser Dozent hat ausdrücklick Vektoren, also Spalten- und Zeilenvektoren, gesagt.
Also ich bin wirklich grad ziemlich ziemlich doll verwirrt. Besonders mit der Schreibweise für Vektoren und mit dem transponiert und so!
Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir dabei helfen, diese Verwirrung zu beseitigen.
LG, Nadine
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Hallo Nadine!
Ich versuch' dir mal ein Beispiel zu geben, und Du meldest dich dann einfach, wenn's unklar ist. 
Soweit ich das weiß, kann man Vektoren unterschiedlich aufschreiben:
Einmal in Spaltenform: [mm]v := \begin{pmatrix}v_{11}\\v_{21}\\v_{31}\end{pmatrix}[/mm] und einmal in Zeilenform (also in diesem Beispiel als drei Spalten): $w := [mm] \left(w_{11},w_{12},w_{13}\right)$. [/mm] Beides sind Matrizen. Es gilt: $v [mm] \in \mathbb{R}^{3\times 1}$ [/mm] und $w [mm] \in \mathbb{R}^{1 \times 3}$.
[/mm]
Und was bedeutet jetzt [mm] $w^T$? [/mm] Nun das ist eine andere Schreibweise für folgende Anweisung:
"Gehe jede Komponente von $w$ durch, und "drehe" bei jeder Komponente die Indizierung um."
Somit wird aus [mm] $w_{13}$ $w_{31}$, [/mm] und umgekehrt wird aus [mm] $v_{31}$ $v_{13}$.
[/mm]
Formal definiert man das so: [mm] $w^T_{ij} [/mm] := [mm] w_{ji}$.
[/mm]
Und was ist dann z.B. [mm] $v\cdot{w}$? [/mm] Matrizen multipliziert man ja immer "Zeile mal Spalte". In diesem Fall hat $v$ 3 Zeilen, jede dieser Zeilen hat genau eine Spalte. w hingegen hat eine Zeile mit 3 Spalten. "Zeile mal Spalte" bedeutet also, daß die Anzahl der Spalten in einer Zeile von v mit der Anzahl der Zeilen in einer Spalte von w übereinstimmen muß, damit die Multiplikation funktioniert. Ist das der Fall, gehst Du v zeilenweise durch, und multiplizierst jede Zeile von v nacheinander mit jeder Spalte von w. Und so erhälst Du dann deine Matrix. In unserem Fall ist $vw [mm] \in \mathbb{R}^{3\times 3}$.
[/mm]
Ok, so sieht es dann aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Bei der letzten 3ten Zeile von v machst Du das natürlich analog. Der Übersichtlichkeit halber habe ich's nicht mehr eingezeichnet.)
Und was ist [mm] $w\cdot{v}$? [/mm] Hier ist es ja wieder Zeile mal Spalte. Die einzige aus 3 Spalten bestehende Zeile von w wird mit der einzigen aus 3 Zeilen bestehenden Spalte von v multipliziert. Das Ergebnis ist eine Matrix mit einer Zeile und einer Spalte darin:
[mm]\left(w_{11},w_{12},w_{13}\right)\begin{pmatrix}v_{11}\\v_{21}\\v_{31}\end{pmatrix} = w_{11}v_{11} + w_{12}v_{21} + w_{13}v_{31} \in \mathbb{R}[/mm]
Und was wäre z.B. $v^Tv$? Das ist das Gleiche, als wenn Du jeden Eintrag von v quadrierst, und die Ergebnisse addierst. Probier' es mal aus.
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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