Vektoren bilden Basis? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Mi 19.11.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Vektoren
[mm] v_{1}=\vektor{-2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \\ 5} [/mm] ; [mm] v_{2}=\vektor{-2 \\ 1 \\ -2 \\ -4 \\ 7} [/mm] ; [mm] v_{3}=\vektor{-1 \\ -2 \\ -1 \\ 2 \\ 2} [/mm] ; [mm] v_{4}=\vektor{-1 \\ -1 \\ -5 \\ -1 \\ 8}
[/mm]
eine Basis von U = [mm] \{x\in\IR^{5}|x_{1} + x_{2} +x_{3} +x_{4} +x_{5} = 0\} [/mm] bilden. |
Hallo, ich habe erstmal eine Matrix mit den 4 Vektoren aufgestellt:
[mm] \pmat{ -2 & 1 & -2 & -2 & 5 \\ -2 & 1 & -2 & -4 & 7 \\ -1 & -2 & -1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & -5 & -1 & 8 }
[/mm]
und diese dann auf Zeilenstufenform gebracht.
[mm] \pmat{-1 & -1 & -5 & -1 & 8 \\ 0 & -1 & 4 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 20 & 7 & -27 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -2}
[/mm]
Da ich dort nun genau 4 Stufenspalten erhalte, sind die 4 Vektoren doch eine Basis von U.
Muss ich noch mehr machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Vektoren
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> [mm]v_{1}=\vektor{-2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \\ 5}[/mm] ; [mm]v_{2}=\vektor{-2 \\ 1 \\ -2 \\ -4 \\ 7}[/mm]
> ; [mm]v_{3}=\vektor{-1 \\ -2 \\ -1 \\ 2 \\ 2}[/mm] ;
> [mm]v_{4}=\vektor{-1 \\ -1 \\ -5 \\ -1 \\ 8}[/mm]
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> eine Basis von U = [mm]\{x\in\IR^{5}|x_{1} + x_{2} +x_{3} +x_{4} +x_{5} = 0\}[/mm]
> bilden.
> Hallo, ich habe erstmal eine Matrix mit den 4 Vektoren
> aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & -2 & -2 & 5 \\ -2 & 1 & -2 & -4 & 7 \\ -1 & -2 & -1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & -5 & -1 & 8 }[/mm]
>
> und diese dann auf Zeilenstufenform gebracht.
>
> [mm]\pmat{-1 & -1 & -5 & -1 & 8 \\ 0 & -1 & 4 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 20 & 7 & -27 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -2}[/mm]
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> Da ich dort nun genau 4 Stufenspalten erhalte, sind die 4
> Vektoren doch eine Basis von U.
Hallo,
was Du bisher erreicht hast, ist folgendes: Du weißt, daß die 4 Vektoren linear unabhängig sind.
Somit sind sie eine Basis des von [mm] v_1, v_2, [/mm] v-3, [mm] v_4 [/mm] erzeugten Raumes.
Ob dieser Raum aber tatsächlich der Raum U ist, steht in den Sternen.
Das mußt Du noch untersuchen.
Eine Möglichkeit, wie Du das machen könntest:
finde heraus, welche Dimension U hat.
Falls die Dimension =4 ist, prüfe, ob jeder Deiner Vektoren [mm] v_i [/mm] in U liegt.
Wenn ja hast Du eine linear unabhängige Teilmenge aus 4 Vektoren aus U gefunden, und wenn Du weißt, daß U die dim 4 hat, muß es eine Basis sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 19.11.2008 | | Autor: | dennschu |
Danke, für deinen Hinweis.
Wenn ich jetzt die Lösungsmenge des LGS bestimme und dort herausfinde, dass es 4 lin. unabhängige Vektoren und einen lin. abhängigen ist die Dimension = 4 oder?
Dann bräuchte ich nur noch die gegebenen Vektoren in U einsetzen und zeigen, dass die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} [/mm] die Gleichung erfüllen.
Das reicht dann?
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Welches LGS? Hast Du einen Ansatz dafür?
Die Dimension von U ist doch leicht zu bestimmen. Wieviele [mm] x_i [/mm] sind frei wählbar, so dass alle weiteren dann fest bestimmt sind?
Gut, die Vektoren erfüllen die Gleichung ja.
Nimm mal als Variante an [mm] U_{\tau} [/mm] = [mm] \{x\in\IR^{5}|x_{1} + x_{2} +x_{3} +x_{4} +x_{5} = \tau\} [/mm] mit [mm] \tau\not=0
[/mm]
Was müsste sich an Deinen vier Vektoren ändern, damit sie eine Basis von [mm] U_{\tau} [/mm] wären?
Anders gefragt: was passiert bei einer Parallelverschiebung der Hyperebene?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 19.11.2008 | | Autor: | dennschu |
Hi, danke für deine Antwort, aber wirklich schlau bin ich daraus leider nicht geworden.
> Die Dimension von U ist doch leicht zu bestimmen. Wieviele
> [mm]x_i[/mm] sind frei wählbar, so dass alle weiteren dann fest
> bestimmt sind?
Das ist klar, das sind 4, aber wie komme ich darauf? Ich wollte dazu das Gleichungssystem der gegeben Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} [/mm] :
[mm] \pmat{ -2 & 1 & -2 & -2 & 5 \\ -2 & 1 & -2 & -4 & 7 \\ -1 & -2 & -1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & -5 & -1 & 8 }
[/mm]
lösen.
Da [mm] x_{5} [/mm] dabei ja freiwählbar, also lin. abhängig ist komme ich damit auch auf die Dimension 4. Geht bzw reicht das?
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Nein, das reicht nicht. Dieses LGS zeigt nur, dass Deine vier Vektoren linear unabhängig sind. U kommt gar nicht darin vor. Und selbst wenn Du noch eine 5. Zeile mit nur Einsen dazu setzt, stellst Du fest, dass sie in der Diagonalform wieder wegfällt. Aber: genau das muss so sein, wenn die vier Vektoren eine Basis von U bilden! (Überleg Dir mal, warum. Es ist einfach.)
Getrennt davon (ohne Zuhilfenahme Deiner Vektoren!) musst Du die Dimension von U bestimmen (was Du schon getan hast). Wenn die dim U=4 und die Vektoren U aufspannen, dann sind sie eine Basis.
[mm] \IR^5 [/mm] hat (offensichtlich) 5 Dimensionen. Mit jeder linearen Gleichung, die eine Beziehung zwischen den fünf [mm] x_i [/mm] festlegt, verliert der Raum sozusagen einen Freiheitsgrad, sofern die Gleichungen linear unabhängig sind. Hier liegt nur eine Gleichung vor, [mm] \summe_{i=1}^{5}x_i=0
[/mm]
U hat also vier Dimensionen.
Bei nicht linearen Gleichungen ist die Betrachtung u.U. schwieriger, aber das ist hier ja glücklicherweise nicht der Fall.
Im [mm] \IR^3 [/mm] ist das leichter anschaulich zu machen. Eine lineare Gleichung [mm] (\Rightarrow [/mm] Ebene) reduziert auf zwei Dimensionen, eine weitere dann auf eine Dimension [mm] (\Rightarrow [/mm] Gerade), sofern die Ebenen eine gewisse Bedingung erfüllen: sie müssen sich schneiden.
Deine Vektoren erfüllen die Gleichung ja auch alle; Du hast also eine Basis von U vorliegen.
Aber, um nochmal nachzubohren, wie ist es denn mit [mm] U_{\tau}? [/mm] Tipp: siehe 1. Absatz dieses Beitrags.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 19.11.2008 | | Autor: | dennschu |
Irgendwie steh ich voll auf dem Schlauch. Wenn ich die Hyperebene parallelverschiebe, ändert sich der Raum aber nicht die Dimension, oder?
[mm] dim\{IR^{5}\}=5 [/mm]
da wir eine Gleichung mit [mm] x_{i},(i=5) [/mm] haben, folgt [mm] dim\{U\}=4.
[/mm]
Aber was du mir mit [mm] \{x\in\IR^{5}|x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = \tau \} [/mm] sagen willst versteh ich nicht. Der Raum der Hyperbene ändert sich, die Dimension aber nicht. Sehe ich das richtig?
Aber ich komme immer noch nicht dahinter, was mir das über die Dimension sagt. In jedem Vektor muss sich die Addition der Koordinaten um [mm] \tau [/mm] verändern, aber was bringt mir das?
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Bei meinem [mm] U_{\tau} [/mm] wird nur die Hyperebene um [mm] \tau [/mm] verschoben. Die Dimension bleibt also gleich.
Deine vier Vektoren sind aber auch eine Basis von [mm] U_{tau}, [/mm] obwohl sie die veränderte Gleichung ja nicht zu erfüllen scheinen. Die Gleichung, die sie erfüllen müssen, hat als absolutes Glied immer die 0.
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