Vektoren x und y berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne x und y aus
x [mm] \pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] + y [mm] \pmat{ 2 \\ -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 4 } [/mm] |
Hallo Matheraum!
Ich bin in Mathe noch nicht so ganz fit und ich bräuchte hilfe bei dieser scheinbar einfachen Aufgabe. Es wäre toll wenn mir das mal jemand exemplarisch vorrechnen könnte, wenn ich mal sehe wie das gemacht wird kann ich meine anderen Aufgaben sicher auch selber rechnen :)
Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Do 15.11.2007 | | Autor: | Blech |
[mm] $x\pmat{ 1 \\ 1 }+ [/mm] y [mm] \pmat{ 2 \\ -1 }= \pmat{ 1 \\ 4 }$
[/mm]
x und y sollen Skalare (="(reelle) Zahlen", im Gegensatz zu "Vektoren") sein;
Du multiplizierst einen Vektor mit einem Skalar, indem Du alle Einträge des Vektors (Koeffizienten) mit dem Skalar multiplizierst:
[mm] $4\pmat{1\\1}=\pmat{4\\4};\quad 3\pmat{3\\-6}=\pmat{3*3\\3*(-6)}=\pmat{9\\-18};\quad 2\pmat{1\\3}=\pmat{2*1\\2*3}=\pmat{2\\6}$
[/mm]
D.h.:
[mm] $x\pmat{ 1 \\ 1 }+ [/mm] y [mm] \pmat{ 2 \\ -1 }= \pmat{ 1*x \\ 1*x }+ \pmat{ 2*y \\ -1*y }$
[/mm]
Du addierst Vektoren, indem Du die jeweiligen Koeffizienten (1. Eintrag des ersten Vektors zu 1. Eintrag des zweiten, 2. Eintrag des ersten zu 2. Eintrag des zweiten, 3. zu 3., usw., aber wir haben hier nur 2) addierst:
[mm] $\pmat{ 1 \\ 1 } +\pmat{ 1 \\ 1 }=\pmat{ 2 \\ 2 };\quad \pmat{ 3 \\ 5 } +\pmat{ 6 \\ 2 } =\pmat{ 3+6 \\ 5+2 } =\pmat{ 9 \\ 7 } [/mm] $
D.h.
[mm] $\pmat{ 1*x \\ 1*x }+ \pmat{ 2*y \\ -1*y }=\pmat{ 1*x+2*y \\ 1*x-1*y }=\pmat{ x+2y \\ x-y }$
[/mm]
Zwei Vektoren sind gleich, wenn die jeweiligen Koeffizienten übereinstimmen:
[mm] $\pmat{ 9 \\ 7 }=\pmat{ 9 \\ 7 };\quad \pmat{ a \\ 2b }=\pmat{ 4 \\ 8 }\ \Rightarrow [/mm] a=4,\ 2b=8\ [mm] \Rightarrow [/mm] a=4, b=4$
Und damit haben wir:
[mm] $x\pmat{ 1 \\ 1 }+ [/mm] y [mm] \pmat{ 2 \\ -1 }= \pmat{ x+2y \\ x-y }=\pmat{ 1 \\ 4 }$
[/mm]
genau dann, wenn:
x+2y=1
x-y=4
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