Vektoren zur Basis erweitern < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | | Ergänze [mm] v_{1}=(0,6,18) [/mm] und [mm] v_{2}=(-1,0,3) [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Hallo,
ich will die obigen 2 Vektoren zu einer Basis erweitern. Natürlich kann ich mir jetzt einen beliebigen Vektor aussuchen und ihn auf lineare Unabhängigkeit prüfen, lieber will ich aber eine allg. Gleichung angeben, die dieser Vektor erfüllen muss. Dazu habe ich ein LGS erstellt:
[mm] \lambda_{1}(0,6,18) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(-1,0,3) [/mm] = (a,b,c)
Das heißt ja, wenn eine Lösung raus kommt, dann ist der Vektor linear abhängig, da er von den anderen beiden dargstellt werden kann, und wenn ein Widerspruch entsteht, dann ist der Vektor linear unabhängig zu den beiden, richtig?
Raus bekommen habe ich in der letzten Zeile 3b-3a=c. So, nun weiß ich, dass alle Vektoren die diese Gleichung nicht erfüllen linear unabhängig zu meinen anderen beiden sind. Jetzt kommt mein eigentliches anliegen. Ich möchte lieber eine Gleichung haben, die wenn sie erfüllt wird einen linearen Vektor angibt. Kann ich dies also irgendwie umdrehen?
Meine erste Idee war ein LGS der vorm : [mm] \lambda_{1}(0,6,18) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(-1,0,3) [/mm] + [mm] \lambda_{3}(a,b,c) [/mm] = (0,0,0). Da wurden aber für alle a,b,c das [mm] \lambda=0.
[/mm]
Grüße
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Hallo Pauli85,
> Ergänze [mm]v_{1}=(0,6,18)[/mm] und [mm]v_{2}=(-1,0,3)[/mm] zu einer Basis
> des [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Hallo,
> ich will die obigen 2 Vektoren zu einer Basis erweitern.
> Natürlich kann ich mir jetzt einen beliebigen Vektor
> aussuchen und ihn auf lineare Unabhängigkeit prüfen,
> lieber will ich aber eine allg. Gleichung angeben, die
> dieser Vektor erfüllen muss. Dazu habe ich ein LGS
> erstellt:
> [mm]\lambda_{1}(0,6,18)[/mm] + [mm]\lambda_{2}(-1,0,3)[/mm] = (a,b,c)
> Das heißt ja, wenn eine Lösung raus kommt, dann ist der
> Vektor linear abhängig, da er von den anderen beiden
> dargstellt werden kann, und wenn ein Widerspruch entsteht,
> dann ist der Vektor linear unabhängig zu den beiden,
> richtig?
> Raus bekommen habe ich in der letzten Zeile 3b-3a=c. So,
> nun weiß ich, dass alle Vektoren die diese Gleichung nicht
> erfüllen linear unabhängig zu meinen anderen beiden sind.
> Jetzt kommt mein eigentliches anliegen. Ich möchte lieber
> eine Gleichung haben, die wenn sie erfüllt wird einen
> linearen Vektor angibt. Kann ich dies also irgendwie
> umdrehen?
> Meine erste Idee war ein LGS der vorm : [mm]\lambda_{1}(0,6,18)[/mm]
> + [mm]\lambda_{2}(-1,0,3)[/mm] + [mm]\lambda_{3}(a,b,c)[/mm] = (0,0,0). Da
> wurden aber für alle a,b,c das [mm]\lambda=0.[/mm]
>
Du kannst den gesuchten Vektor so bestimmen,
dass dieser zu [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] orthogonal ist.
> Grüße
Gruss
MathePower
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