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| Aufgabe | Gegeben ist: [mm] \vec{a}: [/mm] (-3/4/100)
Finden Sie Vektor [mm] \vec{b} [/mm] so, dass
1) Fi = 60 Grad
2) b in der x-y-Ebene liegt
3) b die Länge 5 LE hat. |
Hallo,
Der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] muss unter den drei genannten Bedingungen gefunden werden.
Mein Ansatz wäre auf jeden Fall, dass die Z-Komponente 0 beträgt, da wir uns hier in der x-y-Ebene befinden.
Ansonsten würde ich es mit dem Skalarprodukt versuchen:
ax*bx + ay*by = 0, wobei der Kosinus Fi bei 60 Grad 1/2 ergibt, daher würde ich sagen
-3*bx + 4*by = 1/2
und dann auflösen...
-3*bx + 4*by = 1/2 - geteilt durch 4
-3/4*bx + by = 1/8
by = 1/8 + 3/4 bx
by² = 1/64 + 9/16
bx² + by² = 25 (weil 3² + 4² = 25)
16/16bx² + 1/64 + 9/16 bx² = 25
umgestellt komme ich zu dem Ergebnis
25/16bx²= 1599/64 für die x-Komponente.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 11.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
1. die Aufgabe ist so nicht lösbar.
Anschaulich liegt das daran, dass der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] wegen seiner großen z-Komponente von 100 so steil in die Höhe ragt, dass jeder Vektor [mm] \vec{b} [/mm] der x-y-Ebene mit [mm] \vec{a} [/mm] einen Winkel von fast 90° einschließt, [mm] \varphi [/mm] = 60° kann jedenfalls niemals erreicht werden.
2. du machst einen entscheidenden Fehler.
Es gilt [mm] \cos \varphi [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}.
[/mm]
Vergiss den Nenner nicht !
Gruß Sax.
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Danke für die schnelle Antwort.
Dass die Aufgabe in der Praxis nicht funktionieren könnte hatte mein Tutor schon dezent angedeutet, er war sich aber nicht sicher.
Im Unterricht hatten wir das ganze mit 90 Grad durchgerechnet, also
-3bx + 4by = 0
=> by = [mm] \bruch{3}{4}bx
[/mm]
=> by² = [mm] \bruch{9}{16} [/mm] bx²
=> by = +/- 3 (wie die +/- 3 in Relation zu den [mm] \bruch{9}{16} [/mm] steht, versteh ich ehrlich gesagt nicht wirklich.
[mm] \bruch{16}{16}bx² [/mm] + [mm] \bruch{9}{16}bx² [/mm] = 25
[mm] \bruch{25}{16}bx² [/mm] = 25 => bx = +/-4
Hierbei verstehe ich auch nicht wie die dritte Bedingung (5 LE) mit einbezogen wurde.
Trotzdem vielen Dank für Ihre Antwort.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 11.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Danke für die schnelle Antwort.
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> Dass die Aufgabe in der Praxis nicht funktionieren könnte
> hatte mein Tutor schon dezent angedeutet, er war sich aber
> nicht sicher.
>
> Im Unterricht hatten wir das ganze mit 90 Grad
> durchgerechnet, also
>
> -3bx + 4by = 0
> => by = [mm]\bruch{3}{4}bx[/mm]
>
> => by² = [mm]\bruch{9}{16}[/mm] bx²
>
> => by = +/- 3 (wie die +/- 3 in Relation zu den
> [mm]\bruch{9}{16}[/mm] steht, versteh ich ehrlich gesagt nicht
> wirklich.
Das folgt später. zunächst wird auf beiden Seiten der obigen Gleichung [mm] b_x^2 [/mm] addiert. Das ergibt links [mm] b_x^2+b_y^2, [/mm] was dem Quadrat der Länge von [mm] \vec{b} [/mm] entspricht, also 25 und rechts [mm] (\bruch{9}{16}+\bruch{16}{16})*b_x^2=\bruch{25}{16}*b_x^2 [/mm] , woraus $ [mm] b_x=\pm [/mm] 4 $ gefolgert werden kann. Daraus berechnen sich dann die [mm] b_y-Werte.
[/mm]
>
> [mm]\bruch{16}{16}bx²[/mm] + [mm]\bruch{9}{16}bx²[/mm] = 25
>
> [mm]\bruch{25}{16}bx²[/mm] = 25 => bx = +/-4
Hier fehlen viele Quadrate.
>
> Hierbei verstehe ich auch nicht wie die dritte Bedingung (5
> LE) mit einbezogen wurde.
>
> Trotzdem vielen Dank für Ihre Antwort.
>
>
Gruß Sax.
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Hier zumindest mal die offizielle Lösung meines Tutors:
Fi = 60 Grad
=> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-3x+4y}{5*\wurzel{x²y²}} [/mm] = 1 + 3 x
4by = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] 3bx
x*y => z = 0
[mm] \vec{b} [/mm] = 5 25 = x² + y²
I -3bx + 4by = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
II bx
cos Fi = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{Betrag von a * Betrag von b}
[/mm]
I [mm] \bruch{3x + 4y}{\wurzel{10025}*\wurzel{x²y²}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
II x² + y² = 25 => x² = 25y²
I -3 + [mm] (\wurzel{25-y²}) [/mm] + 4y = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{10025} [/mm] * [mm] \wurzel{25-y²+y²}
[/mm]
[mm] \wurzel{25-y²} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}y [/mm] = [mm] -\bruch{5}{6} \wurzel{10025}
[/mm]
[mm] \wurzel{25-y²} [/mm] = [mm] -\bruch{5}{6} \wurzel{10025} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}y [/mm] | ( )²
25-y² = [mm] \bruch{25}{36} [/mm] * 10025 + [mm] \bruch{16}{9} [/mm] y² - [mm] \bruch{20}{9}*\wurzel{10025} [/mm] y
(25 - [mm] \bruch{16}{9}y² [/mm] + [mm] \bruch{20}{9}\wurzel{10025}y [/mm] - [mm] \bruch{25}{36}*10025 [/mm] = 0
13, 17 = y
x² = [mm] \bruch{16}{9} [/mm] y²
Versteh ehrlich gesagt nicht wirklich, was er uns damit sagen will, das ist wohl alles ein bisschen zu viel für so einen kleinen Grundkurs-Kopf.
Vorallem versteh ich immer noch nicht wie die 3.Bedingung [mm] (\vec{b} [/mm] = 5 LE) mit einbezogen wurde und wie die Aufgabe an sich funktioniert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mi 12.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Nun musst Du mal sagen, was Du willst. Sax hat geschrieben, dass die Aufgabe nicht lösbar ist und auch noch eine anschauliche Begründung geliefert. Möchtest Du nun bis zu dem Punkt rechnen, an dem das klar wird?
Bevor ich mich durch die Formeln durch quäle, rechne ich lieber selbst. Da fehlt der Text. Wenn Du so etwas mitschreibst, dann musst Du da die Kommentare mit notieren.
Die Bedingung [mm] $\vec{b}$ [/mm] liegt in der -y-Ebene hast Du richtig mit [mm] $b_z [/mm] = 0$ übersetzt. Nun kommt der Winkel ins Spiel: [mm] $\cos(\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
[/mm]
Eingesetzt ergibt das: [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-3b_x+4b_y}{\sqrt{10025}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$
[/mm]
Nun ist es ganz praktisch, die Bedingung, das [mm] $|\vec{b}| [/mm] = [mm] \sqrt{b_x^2+b_y^2} [/mm] = 5$ schon mal zu verwenden: [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-3b_x+4b_y}{5\sqrt{10025}}$ [/mm] und damit [mm] $-3b_x+4b_y [/mm] = [mm] \bruch{5\sqrt{10025}}{2}$. [/mm] Nun wird das Problem schon erkennbar: [mm] $-3b_x+4b_y$ [/mm] muss 250 knapp überschreiten, und dabei muss der Betrag 5 eingehalten werden. Wieder wird der Betrag 5 angewendet: [mm] $b_x [/mm] = [mm] \pm\sqrt{25 - b_y^2}$ [/mm] wobei klar ist, dass das Minuszeichen relevant ist, es geht ja darum, [mm] $-3b_x+4b_y$ [/mm] möglichst groß zu bekommen. [mm] $3\sqrt{25 - b_y^2}+4b_y [/mm] = [mm] \bruch{5\sqrt{10025}}{2}$
[/mm]
Nun wird umgeformt [mm] $3\sqrt{25 - b_y^2} [/mm] = [mm] \bruch{5\sqrt{10025}}{2}-4b_y$ [/mm] und quadriert
$9(25 - [mm] b_y^2) [/mm] = [mm] \bruch{25\cdot 10025}{4}-20\sqrt{10025}\cdot b_y +16b_y^2$
[/mm]
Nun lass ich Dich weitermachen: Das ist ein quadratische Gleichung für [mm] $b_y$. [/mm] Hat die eine Lösung?
Nun meine Kritik an der "Lösung". Dabei sind das Meiste wohl Eingabefehler von Dir.
Nun kommt ein wenig Licht in die Formeln. Allerdings werden die erst mit dem Formeleditor lesbar.
I $ [mm] \bruch{3x + 4y}{\wurzel{10025}\cdot{}\wurzel{x^2y^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
Da fehlt das Pluszeichen unter der Wurzel.
II [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 25 => [mm] x^2 [/mm] = [mm] 25y^2$
[/mm]
Da fehlt das Minuszeichen vor dem [mm] $y^2$.
[/mm]
I $-3 + [mm] (\wurzel{25-y^2}) [/mm] + 4y = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{10025} \wurzel{25-y^2+y^2} [/mm] $
Ganz rechts hätte man auch sofort 5 hin schreiben können, das Plus vor der linken Wurzel ist falsch, es beleibt eh noch das Vorzeichen zu klären.
$ [mm] \wurzel{25-y^2} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}y [/mm] = [mm] -\bruch{5}{6} \wurzel{10025} [/mm] $ einmal durch -3 geteilt
$ [mm] \wurzel{25-y^2} [/mm] = [mm] -\bruch{5}{6} \wurzel{10025} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}y [/mm] $
[mm] $25-y^2 [/mm] = [mm] \bruch{25}{36} [/mm] * 10025 + [mm] \bruch{16}{9} y^2 [/mm] - [mm] \bruch{20}{9}\cdot{}\wurzel{10025} [/mm] y$
quadriert
$(25 - [mm] \bruch{16}{9})y^2 [/mm] + [mm] \bruch{20}{9}\wurzel{10025}y [/mm] - [mm] \bruch{25}{36}\cdot{}10025 [/mm] = 0$
als quadratische Gleichung geschrieben.
Wenn 13,17 = y das die Lösung für y sein soll, (ich bekomme etwas anderes heraus, außerdem ist es eine quadratische Gleichung) dann ist klar, dass es misslungen ist. [mm] $\vec{b}$ [/mm] kann nun nicht mehr den Betrag 5 haben. Da muss schon vorher etwas schief gegangen sein, denn der Betrag 5 ist ja als Voraussetzung eingegangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Do 13.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Nun möchte ich untersuchen ob die Aufgabe eine Lösung hat. Dazu bestimme ich den Winkel zwischen einem Normalevektor auf der x-y-Ebene [mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vec{a}$:
[/mm]
[mm] $\cos(\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{100}{\sqrt{10025}} \approx [/mm] 0,999$
Damit ist [mm] $\varphi \approx 2,86^\circ$
[/mm]
Es kann also keinen Vektor in der x-y-Ebene geben, der zu a einen Winkel von 60° hat. Der kleinste mögliche Winkel ist [mm] $\approx 97,14^\circ$.
[/mm]
Wenn man also die Bedingung mit dem Betrag schon am Anfang einführt, dann rechnet man länger, bis man einsieht, dass die Aufgabe keine Lösung hat.
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