Vektorenmenge vergleichen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, ich habe gestern eine ähnliche Aufgabe gestellt und bräuchte wiedmal ein bisschen hilfe.
folgende Aufgabe
Beweise bzw. widerlege folgende Aussage:
Für beliebige Vektoren $ [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] $ eine Vektorraumes über [mm] \Q [/mm] gilt:
$ [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] = [mm] \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}$ [/mm]
Danke euch :) |
Meine Gedanke waren, dass ich die rechte Seite zusammenfassen kann als:
[mm] w_1 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_3
[/mm]
[mm] w_3 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + [mm] v_3
[/mm]
Somit gilt doch, da ich inem Vektoraum bin, dass ich die Vektoren als als Linearkombination schreiben kann.
Folglich
$ [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 [/mm] = [mm] \lambda_1 w_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 [/mm] $
OK nun hätte ich die w's wieder eingesetzt.
$ [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 [/mm] = [mm] \lambda_1 (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 (v_1 [/mm] + [mm] v_3) +\lambda_3 (v_2 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] $
Nun ausmultipizieren und zusammenfassen.
$ [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 [/mm] = [mm] v_1 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] $ + $ [mm] v_2 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] $
Nun forme ich dies zu einem LGS um und löse es
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] =0 [mm] \rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] =0 [mm] \rightarrow \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0 [mm] \rightarrow \lambda_3 [/mm] =0
FOlglich ist [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] =0
Also eine wahre Aussage, bzw was sagt ihr dazu?
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> Beweise bzw. widerlege folgende Aussage:
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> Für beliebige Vektoren [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] eine
> Vektorraumes über [mm]\IQ[/mm] gilt:
> [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} = \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
>
> Danke euch :)
> Meine Gedanke waren, dass ich die rechte Seite
> zusammenfassen kann als:
>
> [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm]
> [mm]w_2[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_3[/mm]
> [mm]w_3[/mm] = [mm]v_2[/mm] + [mm]v_3[/mm]
>
> Somit gilt doch, da ich inem Vektoraum bin, dass ich die
> Vektoren als als Linearkombination schreiben kann.
>
> Folglich
>
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 = \lambda_1 w_1[/mm]
> + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> OK nun hätte ich die w's wieder eingesetzt.
>
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 = \lambda_1 (v_1 + v_2)[/mm]
> + [mm]\lambda_2 (v_1 + v_3) +\lambda_3 (v_2 + v_3)[/mm]
>
> Nun ausmultipizieren und zusammenfassen.
>
>
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 = v_1 (\lambda_1 + \lambda_2)[/mm]
> + [mm]v_2 (\lambda_1 + \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 + \lambda_3)[/mm]
>
> Nun forme ich dies zu einem LGS um und löse es
>
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] =0 [mm]\rightarrow \lambda_1[/mm] =
> [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] =0 [mm]\rightarrow \lambda_2[/mm] =
> [mm]\lambda_3[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0 [mm]\rightarrow \lambda_3[/mm] =0
>
> FOlglich ist [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0
>
> Also eine wahre Aussage, bzw was sagt ihr dazu?
Sorry, alles ziemlicher Unsinn ...
Hallo Steffen,
falls in [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} = \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
die geschweiften Klammern gewöhnliche Mengenklammern
sind, dann ist die Aussage natürlich falsch, wie du an
ganz einfachen Beispielen zeigen kannst.
LG Al-Chw.
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> Sorry, alles ziemlicher Unsinn ...
>
>
> Hallo Steffen,
>
> falls in [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} = \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
>
> die geschweiften Klammern gewöhnliche Mengenklammern
> sind, dann ist die Aussage natürlich falsch, wie du an
> ganz einfachen Beispielen zeigen kannst.
>
hmm oke und wie soll ich demnach vorgehen?
danke für deine Hilfe
> LG Al-Chw.
>
>
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> > falls in [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} = \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
> >
> > die geschweiften Klammern gewöhnliche Mengenklammern
> > sind, dann ist die Aussage natürlich falsch, wie du an
> > ganz einfachen Beispielen zeigen kannst.
>
> hmm oke und wie soll ich demnach vorgehen?
Gib ein solches Gegenbeispiel an.
Ich könnte mir allerdings denken, dass mit den geschweiften
Klammern gar nicht Mengenklammern gemeint sind. Nehmen
wir also stattdessen etwa spitze Klammern:
[mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ \ =\ \ <\,v_1 +v_2\, ,\,v_1 + v_3\, ,\,v_2 + v_3\,>[/mm]
wobei mit [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>[/mm] der von den Vektoren [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3
[/mm]
aufgespannte (Unter-) Raum ist, den man auch etwa als
[mm] span(\{v_1,v_2,v_3\}) [/mm] bezeichnet. Um die neue Aussage zu
prüfen, muss man untersuchen, ob jeder Vektor, der sich
als LK (Linearkombination) der [mm] v_i [/mm] darstellen lässt, auch
eine LK der [mm] w_i [/mm] ist, und umgekehrt.
LG Al-Chwarizmi
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in [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} = \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
> > >
> > > die geschweiften Klammern gewöhnliche Mengenklammern
> > > sind, dann ist die Aussage natürlich falsch, wie du an
> > > ganz einfachen Beispielen zeigen kannst.
> >
> > hmm oke und wie soll ich demnach vorgehen?
>
>
> Gib ein solches Gegenbeispiel an.
>
> Ich könnte mir allerdings denken, dass mit den
> geschweiften
> Klammern gar nicht Mengenklammern gemeint sind. Nehmen
> wir also stattdessen etwa spitze Klammern:
>
> [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ \ =\ \ <\,v_1 +v_2\, ,\,v_1 + v_3\, ,\,v_2 + v_3\,>[/mm]
>
> wobei mit [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>[/mm] der von den Vektoren
> [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm]
> aufgespannte (Unter-) Raum ist, den man auch etwa als
> [mm]span(\{v_1,v_2,v_3\})[/mm] bezeichnet. Um die neue Aussage zu
> prüfen, muss man untersuchen, ob jeder Vektor, der sich
> als LK (Linearkombination) der [mm]v_i[/mm] darstellen lässt, auch
> eine LK der [mm]w_i[/mm] ist, und umgekehrt.
Ok aber dies hätte ich doch schon in eine richtung (1ter post) gemacht oder?
>
> LG Al-Chwarizmi
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> in [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} = \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
> > > >
> > > > die geschweiften Klammern gewöhnliche Mengenklammern
> > > > sind, dann ist die Aussage natürlich falsch, wie du an
> > > > ganz einfachen Beispielen zeigen kannst.
> > >
> > > hmm oke und wie soll ich demnach vorgehen?
> >
> >
> > Gib ein solches Gegenbeispiel an.
> >
> > Ich könnte mir allerdings denken, dass mit den
> > geschweiften
> > Klammern gar nicht Mengenklammern gemeint sind. Nehmen
> > wir also stattdessen etwa spitze Klammern:
> >
> > [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ \ =\ \ <\,v_1 +v_2\, ,\,v_1 + v_3\, ,\,v_2 + v_3\,>[/mm]
>
> >
> > wobei mit [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>[/mm] der von den Vektoren
> > [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm]
> > aufgespannte (Unter-) Raum ist, den man auch etwa als
> > [mm]span(\{v_1,v_2,v_3\})[/mm] bezeichnet. Um die neue Aussage
> zu
> > prüfen, muss man untersuchen, ob jeder Vektor, der
> sich
> > als LK (Linearkombination) der [mm]v_i[/mm] darstellen lässt, auch
> > eine LK der [mm]w_i[/mm] ist, und umgekehrt.
>
> Ok aber dies hätte ich doch schon in eine richtung (1ter
> post) gemacht oder?
... nicht, dass ich wüsste ...
Du hattest zwar so etwas vor - aber ich schlage dir vor,
damit neu anzufangen, indem du auch jeweils Voraussetzungen
und Behauptungen klar statuierst.
LG Al-Chw.
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Ok es gilt nun zu zeigen:
Wenn $ [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] $ linear unabhängig, dann auch [mm] \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \} [/mm] linear unabhängig
Nun nehme ich wieder meine rechte Seite und fasse die w's zusammen:
$ [mm] w_1 [/mm] $ = $ [mm] v_1 [/mm] $ + $ [mm] v_2 [/mm] $
$ [mm] w_2 [/mm] $ = $ [mm] v_1 [/mm] $ + $ [mm] v_3 [/mm] $
$ [mm] w_3 [/mm] $ = $ [mm] v_2 [/mm] $ + $ [mm] v_3 [/mm] $
Also gilt für die Linearkombination wenn linear Unabhängig.
$ [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 [/mm] = [mm] \lambda_1 w_1 [/mm] = 0 $
Dies gilt natürlich auch für die w's
$ [mm] \lambda_1 w_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 [/mm] = 0 $
Einsetzen, ausmultipizieren und zusammenfassn ergibt:
$ [mm] v_1 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] $ + $ [mm] v_2 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] = 0 $
Nun muss ich ziegen ob $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ =0 , deshalb übertrage ich in ein LGS:
$ [mm] \lambda_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ =0 $ [mm] \rightarrow \lambda_1 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_2 [/mm] $
$ [mm] \lambda_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ =0 $ [mm] \rightarrow \lambda_2 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_3 [/mm] $
$ [mm] \lambda_2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ = 0 $ [mm] \rightarrow 2\lambda_3 [/mm] $ =0
Da nun $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ =0 folgt lineare Unabhängigkeit.
Und nun die andere Richtung
$ [mm] \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \} [/mm] $
Dann gilt [mm] \lambda_1 (v_1 +v_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_1 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] + [mm] \lambda_3 (v_2 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] = 0
Nun ebenfalls ausmultipizieren und zusammenfassen ergibt:
[mm] v_1 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] + [mm] v_2 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] + [mm] v_3 (\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] = 0
Nun nun wieder das LGS lösen wie oben und es folgt $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ =0
ist dies besser?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok es gilt nun zu zeigen:
>
> Wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] linear unabhängig, dann auch
> [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm] linear unabhängig
Aha ! Das ist also zu zeigen.
>
> Nun nehme ich wieder meine rechte Seite und fasse die w's
> zusammen:
>
> [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm]
> [mm]w_2[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_3[/mm]
> [mm]w_3[/mm] = [mm]v_2[/mm] + [mm]v_3[/mm]
>
> Also gilt für die Linearkombination wenn linear
> Unabhängig.
>
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 = \lambda_1 w_1 = 0[/mm]
Rätselhaft .......
Du mußt zeigen: aus
$ [mm] \lambda_1 w_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 [/mm] = 0 $ folgt: [mm] \lambda_1=\lambda_2= \lambda_3=0
[/mm]
>
> Dies gilt natürlich auch für die w's
>
> [mm]\lambda_1 w_1[/mm] + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 = 0 [/mm]
>
> Einsetzen, ausmultipizieren und zusammenfassn ergibt:
>
> [mm]v_1 (\lambda_1 + \lambda_2)[/mm] + [mm]v_2 (\lambda_1 + \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 + \lambda_3) = 0[/mm]
>
> Nun muss ich ziegen ob [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0
> , deshalb übertrage ich in ein LGS:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] =0 [mm]\rightarrow \lambda_1[/mm] =
> [mm]\lambda_2[/mm]
??? Es folgt: [mm] \lambda_1=-\lambda_2.
[/mm]
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] =0 [mm]\rightarrow \lambda_2[/mm] =
> [mm]\lambda_3[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0 [mm]\rightarrow 2\lambda_3[/mm] =0
>
> Da nun [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0 folgt lineare
> Unabhängigkeit.
Glück gehabt !
>
>
> Und nun die andere Richtung
Welche ??
>
> [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\lambda_1 (v_1 +v_2)[/mm] + [mm]\lambda_2 (v_1[/mm] + [mm]v_3)[/mm] +
> [mm]\lambda_3 (v_2[/mm] + [mm]v_3)[/mm] = 0
>
> Nun ebenfalls ausmultipizieren und zusammenfassen ergibt:
>
> [mm]v_1 (\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2)[/mm] + [mm]v_2 (\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3)[/mm] +
> [mm]v_3 (\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3)[/mm] = 0
>
> Nun nun wieder das LGS lösen wie oben und es folgt
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0
>
> ist dies besser?
Ich frage mich, was Du da getrieben hast ?
FRED
>
>
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> > Ok es gilt nun zu zeigen:
> >
> > Wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] linear unabhängig, dann auch
> > [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm] linear unabhängig
>
> Aha ! Das ist also zu zeigen.
Wie ernst ist diese Aussage zu verstehen?
>
>
> >
> > Nun nehme ich wieder meine rechte Seite und fasse die w's
> > zusammen:
> >
> > [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm]
> > [mm]w_2[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_3[/mm]
> > [mm]w_3[/mm] = [mm]v_2[/mm] + [mm]v_3[/mm]
> >
> > Also gilt für die Linearkombination wenn linear
> > Unabhängig.
> >
> > [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 = \lambda_1 w_1 = 0[/mm]
>
>
> Rätselhaft .......
>
> Du mußt zeigen: aus
>
> [mm]\lambda_1 w_1[/mm] + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 = 0[/mm] folgt:
> [mm]\lambda_1=\lambda_2= \lambda_3=0[/mm]
Naja, dass habe ich doch versucht (siehe unten)
>
>
> >
> > Dies gilt natürlich auch für die w's
> >
> > [mm]\lambda_1 w_1[/mm] + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 = 0[/mm]
> >
> > Einsetzen, ausmultipizieren und zusammenfassn ergibt:
> >
> > [mm]v_1 (\lambda_1 + \lambda_2)[/mm] + [mm]v_2 (\lambda_1 + \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 + \lambda_3) = 0[/mm]
>
> >
> > Nun muss ich ziegen ob [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0
> > , deshalb übertrage ich in ein LGS:
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] =0 [mm]\rightarrow \lambda_1[/mm] =
> > [mm]\lambda_2[/mm]
>
> ??? Es folgt: [mm]\lambda_1=-\lambda_2.[/mm]
>
>
>
> > [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] =0 [mm]\rightarrow \lambda_2[/mm] =
> > [mm]\lambda_3[/mm]
> > [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0 [mm]\rightarrow 2\lambda_3[/mm] =0
> >
> > Da nun [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0 folgt lineare
> > Unabhängigkeit.
>
>
> Glück gehabt !
>
>
> >
> >
> > Und nun die andere Richtung
>
> Welche ??
Nun ja wenn $ [mm] \{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \} [/mm] $ linear unabhängig, dann auch $ [mm] \{v_1 ,v_2 , v_3 \} [/mm] $ linear unabhängig
>
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> >
> > [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm]
> >
> > Dann gilt [mm]\lambda_1 (v_1 +v_2)[/mm] + [mm]\lambda_2 (v_1[/mm] + [mm]v_3)[/mm] +
> > [mm]\lambda_3 (v_2[/mm] + [mm]v_3)[/mm] = 0
> >
> > Nun ebenfalls ausmultipizieren und zusammenfassen ergibt:
> >
> > [mm]v_1 (\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2)[/mm] + [mm]v_2 (\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3)[/mm] +
> > [mm]v_3 (\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3)[/mm] = 0
> >
> > Nun nun wieder das LGS lösen wie oben und es folgt
> > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] =0
> >
> > ist dies besser?
>
> Ich frage mich, was Du da getrieben hast ?
>
> FRED
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> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 24.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ok es gilt nun zu zeigen:
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> Wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] linear unabhängig, dann auch
> [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm] linear unabhängig
Moment mal ...
Ist dies jetzt die (korrigierte) Originalaufgabe ?
Es entspricht jedenfalls nicht dem, was ich mir
bei der Aufgabe vorgestellt habe. Nach meiner
Interpretation wäre zu zeigen, dass der von
[mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannte Teilraum mit jenem
übereinstimmt, der von [mm] v_1+v_2, v_1+v_3 [/mm] und [mm] v_2+v_3
[/mm]
aufgespannt wird.
Dies wäre eine andere Aussage als die, die du
oben genannt hast !
LG Al-Chw.
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> > Ok es gilt nun zu zeigen:
> >
> > Wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] linear unabhängig, dann auch
> > [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm] linear unabhängig
>
>
> Moment mal ...
>
> Ist dies jetzt die (korrigierte) Originalaufgabe ?
>
> Es entspricht jedenfalls nicht dem, was ich mir
> bei der Aufgabe vorgestellt habe. Nach meiner
> Interpretation wäre zu zeigen, dass der von
> [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_2[/mm] aufgespannte Teilraum mit jenem
> übereinstimmt, der von [mm]v_1+v_2, v_1+v_3[/mm] und [mm]v_2+v_3[/mm]
> aufgespannt wird.
> Dies wäre eine andere Aussage als die, die du
> oben genannt hast !
>
So herum hast du das gemeint....ok dann habe ich dies falsch interpretiert.
Prinzipiel steht es genauso (auch die Klammer) in meiner Angabe, wie in post 1 beschrieben
Nochmal von vorne:
Zu zeigen ist ob jeder Vektor aus [mm] v_1, v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] auch als LK von $ [mm] v_1+v_2, v_1+v_3 [/mm] $ und $ [mm] v_2+v_3 [/mm] $ darstellen kann (und umgekehrt oder?
1. Richtung von $ [mm] <\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ [/mm] \ $ nach $\ \ [mm] <\,v_1 +v_2\, ,\,v_1 [/mm] + [mm] v_3\, ,\,v_2 [/mm] + [mm] v_3\,> [/mm] $
Sei a [mm] \in [/mm] V mit $a := [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 [/mm] $
Dann muss dies doch auch für meine "w's" gelten, deshalb:
$a := [mm] \lambda_1 w_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 [/mm] $
Dies habe ich wiederum ausmultipiziert und neu zusammengefasst:
$a := [mm] v_1 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] $ + $ [mm] v_2 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] $ (Ich kann a also als LK darstellen)
Das ist die eine Richtung und nun die andere von [mm] <\,v_1 +v_2\, ,\,v_1 [/mm] + [mm] v_3\, ,\,v_2 [/mm] + [mm] v_3\,> [/mm] nach $ [mm] <\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ [/mm] \ $
Deshalb
a [mm] \in [/mm] V mit a := [mm] \lambda_1( v_1 +v_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_1 +v_3) [/mm] + [mm] \lambda (v_2+ v_3)
[/mm]
Dann fasse ich dies wieder zu meinen "w's" zusammen
a [mm] \in [/mm] V mit a := [mm] \lambda_1( v_1 +v_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_1 +v_3) [/mm] + [mm] \lambda (v_2+ v_3) [/mm] = [mm] \lambda_1(w_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 (w_2) [/mm] + [mm] \lambda (w_3)
[/mm]
Somit kann ich auch dies als LK darstellen
hmm.....wieder volkommener Mist?
> LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Ok es gilt nun zu zeigen:
> > >
> > > Wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] linear unabhängig, dann auch
> > > [mm]\{v_1 +v_2 ,v_1 + v_3, v_2 + v_3 \}[/mm] linear unabhängig
> >
> >
> > Moment mal ...
> >
> > Ist dies jetzt die (korrigierte) Originalaufgabe ?
> >
> > Es entspricht jedenfalls nicht dem, was ich mir
> > bei der Aufgabe vorgestellt habe. Nach meiner
> > Interpretation wäre zu zeigen, dass der von
> > [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_2[/mm] aufgespannte Teilraum mit jenem
> > übereinstimmt, der von [mm]v_1+v_2, v_1+v_3[/mm] und [mm]v_2+v_3[/mm]
> > aufgespannt wird.
> > Dies wäre eine andere Aussage als die, die du
> > oben genannt hast !
> >
>
> So herum hast du das gemeint....ok dann habe ich dies
> falsch interpretiert.
>
> Prinzipiel steht es genauso (auch die Klammer) in meiner
> Angabe, wie in post 1 beschrieben
>
> Nochmal von vorne:
>
> Zu zeigen ist ob jeder Vektor aus [mm]v_1, v_2[/mm] , [mm]v_3[/mm] auch als
> LK von [mm]v_1+v_2, v_1+v_3[/mm] und [mm]v_2+v_3[/mm] darstellen kann (und
> umgekehrt oder?
>
> 1. Richtung von [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ \[/mm] nach [mm]\ \ <\,v_1 +v_2\, ,\,v_1 + v_3\, ,\,v_2 + v_3\,>[/mm]
>
> Sei a [mm]\in[/mm] V mit [mm]a := \lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3[/mm]
>
> Dann muss dies doch auch für meine "w's" gelten, deshalb:
>
> [mm]a := \lambda_1 w_1[/mm] + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3[/mm]
>
> Dies habe ich wiederum ausmultipiziert und neu
> zusammengefasst:
>
> [mm]a := v_1 (\lambda_1 + \lambda_2)[/mm] + [mm]v_2 (\lambda_1 + \lambda_3) +v_3 (\lambda_2 + \lambda_3)[/mm]
> (Ich kann a also als LK darstellen)
>
> Das ist die eine Richtung und nun die andere von [mm]<\,v_1 +v_2\, ,\,v_1[/mm]
> + [mm]v_3\, ,\,v_2[/mm] + [mm]v_3\,>[/mm] nach [mm]<\,v_1\, ,\,v_2\, ,\,v_3\,>\ \[/mm]
>
> Deshalb
>
> a [mm]\in[/mm] V mit a := [mm]\lambda_1( v_1 +v_2)[/mm] + [mm]\lambda_2 (v_1 +v_3)[/mm]
> + [mm]\lambda (v_2+ v_3)[/mm]
>
>
> Dann fasse ich dies wieder zu meinen "w's" zusammen
>
> a [mm]\in[/mm] V mit a := [mm]\lambda_1( v_1 +v_2)[/mm] + [mm]\lambda_2 (v_1 +v_3)[/mm]
> + [mm]\lambda (v_2+ v_3)[/mm] = [mm]\lambda_1(w_1)[/mm] + [mm]\lambda_2 (w_2)[/mm] +
> [mm]\lambda (w_3)[/mm]
>
> Somit kann ich auch dies als LK darstellen
>
>
> hmm.....wieder volkommener Mist?
Ja, leider.
Wir führen ein paar Abkürzungen ein:
Sei $ A:= [mm] \{v_1, v_2, v_3\} [/mm] $ und [mm] $B:=\{v_1 +v_2, v_1 + v_3, v_2 + v_3\}$
[/mm]
Zeigen sollst Du: $<A>=<B>$
Wegen $B [mm] \subseteq [/mm] <A>$ ist auch $<B> [mm] \subseteq [/mm] <A>$
Das ist schon mal die halbe Miete.
Zu zeigen ist also noch:
$A [mm] \subseteq [/mm] <B>$
nehmen wir uns [mm] v_1 [/mm] vor. Zeige: es gibt Skalare r,s und t mit:
[mm] v_1=r(v_1+v_2)+s(v_2+v_3)+t(v_1+v_3)
[/mm]
Mit [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] verfahre genauso.
FRED
>
> > LG Al-Chw.
>
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Ok, bitte verbessert mich wenn ich wiedermal daneben liege.
Also um zu zeigen, dass die Aussage stimmt muss ich jeden Vektor aus A durch B darstellen und umgekehrt:
Nun ja in die erste Richtung habt ihr mir es schon gezeigt, denn och würde ich gerne wissen ob dies auch stimmt.
Ich nehme die Vektoren aus B und versuche sie durch A darzustellen:
$ [mm] v_1 +v_2 [/mm] = [mm] 1*(v_1) [/mm] + [mm] 1*(v_2) +0*(v_3) [/mm] $
$ [mm] v_1 +v_3 [/mm] = [mm] 1*(v_1) [/mm] + [mm] 0*(v_2) +1*(v_3) [/mm] $
$ [mm] v_2 +v_3= 0*(v_1) [/mm] + [mm] 1*(v_2) +1*(v_3) [/mm] $
Da meine Konstanten aus [mm] \IQ [/mm] sind ist dies doch korrekt ?
Und nun in die andere Richtung (wie ihr mir schon vorgegeben habt)
$ [mm] v_1=r(v_1+v_2)+s(v_2+v_3)+t(v_1+v_3) [/mm] $
Dies nun ausmultipizieren und wieder zusammenfassen:
$ [mm] v_1=v_1(r+s)+v_2(r+t)+v_3(s+t) [/mm] $
Nun sehe ich welche Werte die Konstanten annehmen müssen, damit die "Gleichung" erfüllt ist.
$ [mm] v_1=v_1(\underbrace{r+s}_{1})+v_2(\underbrace{r+t}_{0})+v_3(\underbrace{s+t}_{0}) [/mm] $
Diese löse ich nun als LGS
r+s =1
r+t = 0 [mm] \rightarrow [/mm] t= -r
s+ t =0
in die 3te Zeile einsetzen
r+s =1
r+t = 0
s+ (-r) =0 [mm] \rightarrow [/mm] s=r
in die erste Zeile einsetzen
s+s =1 [mm] \rightarrow [/mm] s= 1/2
r+t = 0 [mm] \rightarrwo [/mm] t= -1/2
s =r [mm] \rightarrow [/mm] r =1/2
Also folgt:
$ [mm] v_1=1/2(v_1+v_2)+1/2(v_2+v_3)+(-1/2)(v_1+v_3) [/mm] $
Dies natürlich auch für [mm] v_2, v_3
[/mm]
$ [mm] v_2=1/2(v_1+v_2)-1/2(v_2+v_3)+1/2(v_1+v_3) [/mm] $
$ [mm] v_3=(-1/2)(v_1+v_2)+1/2(v_2+v_3)+1/2(v_1+v_3) [/mm] $
Da die Konstanten ebenfalls in [mm] \IQ [/mm] sind ist diese Darstellung möglich
Klingt dies nun besser?
Danke euch
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, das sieht gut aus !
LG Al-Chw.
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Perfekt danke euch 
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