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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei das Vektorfeld [mm]\overrightarrow{F} \ : \ G \to \IR^3[/mm] mit
[mm]\overrightarrow{F}(x,y,z) \ = \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ \ln(z + 2) \\ \frac{y}{z + 2}\end{pmatrix}[/mm]
und [mm]G = \{(x,y,z) \in \IR^3, x^2 + y^2 +z^2 < 1\}[/mm].
Zeigen Sie, dass [mm]\overrightarrow{F}[/mm] eine Potentialfunktion besitzt und berechnen Sie diese. |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie
[mm]\integral_{C}{\overrightarrow{F}(x,y,z) d\overrightarrow{z}}[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{C}(t) = (t, -t, 0), \ \ \ 0 \le t \le \frac{1}{2} [/mm] |
Hallo,
durch Wikipedia weiß ich zwar was ein Vektorfeld ist, aber wie man die Aufgaben löst dazu habe ich nichtmal einen Ansatz. Ich habe zwar gegoogelt aber nix hilfreiches gefunden. Ich weiß das es so ausschaut als ob ich etwas vorgekaut haben möchte, aber dies lässt sich nun nicht vermeiden. Für jegliche Hilfe wäre ich dankbar.
Wie löse ich diese Art von Aufgaben?
Schönen Abend noch ... .
Gruß,
Lyrone.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mo 08.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Dass F eine Stammfunktion besitzt, heißt doch dass [mm] $\vec{F}=\operatorname{grad}\varphi$ [/mm] für eine gewissen Funktion [mm] $\varphi:\IR^3\to\IR$. [/mm] Hinreichend für deren Existenz ist die sog. ![[]](/images/popup.gif) IntegrabilitätsbedingungEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. Aber in diesem Fall kann man es ja auch mal ganz naiv einfach durch draufstarren versuchen, es muss gelten:
$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}$
$\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\log(z+2)$
$\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{y}{z+2}$
Es ist doch irgendwie naheliegend es mal so zu probieren: $\varphi(x,y,z)=\arccos(x)+y\log(...) + ...$.
Für das Integral: was soll dieses $d\vec{z}$ bedeuten? Falls das normale Kurvenintegral $$\int_C F\ d\vec{s}=\int_0^{1/2}F(C(t))\cdot C'(t)\ dt$$ (im Integrand steh das normale Skalarprodukt) gemeint ist, dann rechne das entweder direkt aus oder benutze/zeige, dass gilt $$\int_C F\ d\vec{s}=\varphi(C(1/2))-\varphi(C(0))$$ Gemeint ist hier das Potential aus Aufgabe 1.
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Robert,
danke für deine Antwort und entschuldige bitte das ich mich erst so spät melde. Habe deine Antwort leider nicht so ganz verstanden, habe mich nun an einer anderen Beispiel Aufgabe im Internet orientiert. Hier zeige hier mal meinen Ansatz. Ich glaube ich habe es bissel umständlich gelöst.
[mm]\overrightarrow{F}(x,y,z) \ = \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ \ln(z + 2) \\ \frac{y}{z + 2}\end{pmatrix}[/mm]
Ich lege fest:
[mm]\overrightarrow{F}(x,y,z) \ = \ \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\frac{\partial g_1}{\partial y} = 0 = \frac{\partial g_2}{\partial x}[/mm]
[mm]\frac{\partial g_1}{\partial z} = 0 = \frac{\partial g_3}{\partial x}[/mm]
[mm]\frac{\partial g_2}{\partial y} = \frac{1}{z + 2} = \frac{\partial g_3}{\partial y}[/mm]
Nun baue ich meine Potentialfunktion Stück für Stück auf. Du hast das in einem Schritt gemacht, aber irgendwie konnte ich das nicht ganz nachvollziehen.
[mm]U_x = g_1 = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
[mm]\integral{U_x dx} = \arccos(x) + h(y,z)[/mm]
Das nun abgeleitet nach [mm] U_y [/mm] ergibt:
[mm]U_y = h_y = g_2 = \ln(z+2)[/mm]
[mm]\integral{h_y dy} = y \cdot \ln(z + 2) + c(z)[/mm]
Nun ist mein [mm]U = \arccos(x) + y \cdot \ln(z + 2) + c(z)[/mm]. Das nun abgeleitet nach [mm] U_x [/mm] ergibt:
[mm]U_z = g_3 = \frac{y}{z+2} + c_z[/mm]
Somit ergibt sich für meine Potentialfunktion:
[mm]U(x,y,z) = \arccos(x) + y \cdot \ln(z+2)[/mm]
Ich finde das von mir optisch sehr wirr aufgebaut, wie kann ich das besser, strukturierter aufschreiben? Und stimmt überhaupt das Ergebnis?
Die 2te Aufgabe konnte ich dank deiner Hilfe (hoffentlich vernünftig) lösen.
Hier mein Ansatz:
[mm]\int_C F\ d\vec{s}=\int_0^{1/2}F(C(t))\cdot C'(t)\ = \integral_{0}^{\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \\ \ln(2) \\ \frac{t}{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} dt}[/mm]
[mm]= \integral_{0}^{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} - \ln(2) dt} = \arccos(\frac{1}{2}) - \ln(2) \cdot \frac{1}{2} = 0,7[/mm]
Stimmt das Ergebnis so?
Schöne Grüße,
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Hallo Robert,
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> danke für deine Antwort und entschuldige bitte das ich
> mich erst so spät melde. Habe deine Antwort leider nicht
> so ganz verstanden, habe mich nun an einer anderen Beispiel
> Aufgabe im Internet orientiert. Hier zeige hier mal meinen
> Ansatz. Ich glaube ich habe es bissel umständlich
> gelöst.
>
> [mm]\overrightarrow{F}(x,y,z) \ = \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ \ln(z + 2) \\ \frac{y}{z + 2}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich lege fest:
> [mm]\overrightarrow{F}(x,y,z) \ = \ \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial g_1}{\partial y} = 0 = \frac{\partial g_2}{\partial x}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial g_1}{\partial z} = 0 = \frac{\partial g_3}{\partial x}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial g_2}{\partial y} = \frac{1}{z + 2} = \frac{\partial g_3}{\partial y}[/mm]
>
> Nun baue ich meine Potentialfunktion Stück für Stück
> auf. Du hast das in einem Schritt gemacht, aber irgendwie
> konnte ich das nicht ganz nachvollziehen.
>
> [mm]U_x = g_1 = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>
> [mm]\integral{U_x dx} = \arccos(x) + h(y,z)[/mm]
>
> Das nun abgeleitet nach [mm]U_y[/mm] ergibt:
>
> [mm]U_y = h_y = g_2 = \ln(z+2)[/mm]
>
> [mm]\integral{h_y dy} = y \cdot \ln(z + 2) + c(z)[/mm]
>
> Nun ist mein [mm]U = \arccos(x) + y \cdot \ln(z + 2) + c(z)[/mm].
> Das nun abgeleitet nach [mm]U_x[/mm] ergibt:
>
> [mm]U_z = g_3 = \frac{y}{z+2} + c_z[/mm]
>
> Somit ergibt sich für meine Potentialfunktion:
>
> [mm]U(x,y,z) = \arccos(x) + y \cdot \ln(z+2)[/mm]
>
> Ich finde das von mir optisch sehr wirr aufgebaut, wie kann
> ich das besser, strukturierter aufschreiben? Und stimmt
> überhaupt das Ergebnis?
>
Du kannst hier z.B. zuerst alles erst einmal integrieren:
[mm]U_{x}=g_{1} \Rightarrow U\left(x,y,z\right) = \integral_{}^{}{g_{1} \ dx} +C_{1}\left(y,z\right)[/mm]
[mm]U_{y}=g_{2} \Rightarrow U\left(x,y,z\right) = \integral_{}^{}{g_{2} \ dy} +C_{2}\left(x,z\right)[/mm]
[mm]U_{z}=g_{3} \Rightarrow U\left(x,y,z\right) = \integral_{}^{}{g_{3} \ dz} +C_{3}\left(x,y\right)[/mm]
Und dann die Funktionen [mm]C_{1}, C_{2}, C_{3}[/mm] durch Vergleich bestimmen.
Nun, eine Potentialfunktion ist auch
[mm]U(x,y,z) = \arccos(x) + y \cdot \ln(z+2)+5[/mm]
Demnach sind Potentialfunktionen
[mm]U(x,y,z) = \arccos(x) + y \cdot \ln(z+2)+C, \ C \in \IR[/mm]
>
> Die 2te Aufgabe konnte ich dank deiner Hilfe (hoffentlich
> vernünftig) lösen.
> Hier mein Ansatz:
>
> [mm]\int_C F\ d\vec{s}=\int_0^{1/2}F(C(t))\cdot C'(t)\ = \integral_{0}^{\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \\ \ln(2) \\ \frac{t}{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} - \ln(2) dt} = \arccos(\frac{1}{2}) - \ln(2) \cdot \frac{1}{2} = 0,7[/mm]
Hier ist die Auswertung an der Untergrenze t=0 verlorengegangen.
>
> Stimmt das Ergebnis so?
>
> Schöne Grüße,
> Lyrone.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 18.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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