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| Aufgabe | ein Vektorfeld a=f(r)*r, mit r[x,y,z]. Gib die Bedingungen für f an damit
(i) die Rotation von a der Nullvektor ist
(ii) die Divergenz von a verschwindet |
Hallo :)
ich habe mir zu (i) folgende Gedanken gemacht:
rot a = 0
wenn [mm] (\bruch{\partial f_z}{\partial y}-\bruch{\partial f_y}{\partial z}, \bruch{\partial f_x}{\partial z}-\bruch{\partial f_z}{\partial x},\bruch{\partial f_y}{\partial x}-\bruch{\partial f_x}{\partial y}) [/mm] Null ist, dann ist ja rot a=0
wäre eine Möglichkeit für f=x+y+z? Falls nicht, ist meine Idee korrekt?
(ii) nun muss div a=0 sein.
div [mm] a=\bruch{\partial f_x}{\partial x}+\bruch{\partial f_y}{\partial y}+\bruch{\partial f_z}{\partial z} [/mm] dies muss also Null werden.
ginge hier f=2x-y-z?
aber dann könnte man sich ja immer was neues ausdenken?
das kann ja auch nicht der sinn sein...
ich freu mich auf eure Ideen.
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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Hallo!
Ich glaube, du mißverstehst hier etwas. Deine Funktion heißt ja
[mm] \vec{a}=f(\vec{r})*\vec{r}
[/mm]
und dann sieht die x-Komponente der Rotation so aus ( [mm] \partial_z [/mm] ist die Ableitung nach z):
[mm] \partial_ya_z-\partial_za_y=\partial_y(f(\vec{r})*z)-\partial_z(f(\vec{r})*y)
[/mm]
und dann gilt natürlich
[mm] \partial_y(f(\vec{r})*z)= z*(\partial_y f(\vec{r}))+f(\vec{r})*(\partial_yz)=...
[/mm]
Weiterhin ist nach DER Bedingung für f gefragt, wann das null wird. Das heißt, es sollen keine Beispiele gegeben werden, sondern es allgemeine Bedingung.
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Vielen lieben Dank für Deine Antwort,
ja das habe ich dann in der Tat falsch verstanden.
ich habe nun einmal den zweiten Teil der x-Komponente gebildet damit mir das Problem klarer wird.
[mm] \partial_z(f(\vec{r})\cdot{}y)= y\cdot{}(\partial_z f(\vec{r}))+f(\vec{r})\cdot{}(\partial_zy)
[/mm]
dann ist es doch eigentlich egal welchen wert y oder z (oder x) annehmen solange sie nicht von einander abhängen und f(r) einen konstanten Wert hat oder? oder ist das nicht möglich weil r ein Vektor ist?
vielen Dank für Deine Mühen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 17.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hallo :)
ich bin leider immernoch nicht weitergekommen :(
hat irgendjemand von euch noch eine idee?
bin über jeden beitrag und jede noch so kleine Idee glücklich :)
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Sa 17.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(r) heisst ja wohl, dass f nur vom Betrag von r abhaengt.
mit [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
jetzt musst du die Ableitung erstmal richtig bilden
[mm] \bruch{\partial a_z}{\partial y}=\bruch{\partial z*f(r)}{\partial y}=z*f'(r)*\bruch{\partial r}{\partial y}=f'(r)*z*\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
usw.
Schreib damit erstmal rot auf!
Gruss leduart
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe! :)
ich habe jetzt rot a wie folgt aufgestellt:
[mm] (f'(r)*z*\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}-f'(r)*y*\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},
[/mm]
[mm] f'(r)*x*\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}-f'(r)*z*\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},
[/mm]
[mm] f'(r)*y*\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}-f'(r)*x*\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
aber weiter komm ich nicht :( wenn die f' gleich wäre wäre das ganze jetzt schon null, also könnte f eine konstante sein?
danke für deine Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 17.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
guck die einzelnen Komponenten doch nochmal genau an!
bring alles auf einen Bruchstrich.
(du hast schon vorrausgesetzt, dass f differenzierbar, also auch stetig ist)
Gruss leduart
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Hallo :)
[mm] \bruch{(f'-f')z*y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{(f'-f')x*z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{(f'-f')x*y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
also wenn ich x frei wähle und y und z null sind, dann wäre rot auch null.
oder ich wähle mehrere parameter frei , dann muss aber auch f'=f' sein.
bin ich schon näher dran?
danke für deine Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 17.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hast du ziemlich unguenstig gemacht, ich haette etwa
f'/r*(zy-zy)=0 geschrieben, aber auch mit deiner Schreibweise solltest du sehen dass f'(r)-f'(r)=0 ist.
wie gesagt f muss differenzierbar und deshalb auch stetig sein.
Gruss leduart
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Hallo :)
ja stimmt deine schreibweise ist durchaus praktischer...
Vielen Dank für die außerführliche Hilfe :)
nun hab ich noch div a zu lösen.
div [mm] a=f'(r)*\bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}+f'(r)*\bruch{y^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}+f'(r)*\bruch{z^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
dies muss nun null werden.
dort gilt f'(r)=0 oder?
vielen dank für die hilfe und ein schönes wochenende :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja stimmt deine schreibweise ist durchaus praktischer...
> Vielen Dank für die außerführliche Hilfe :)
>
> nun hab ich noch div a zu lösen.
> div
> [mm]a=f'(r)*\bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}+f'(r)*\bruch{y^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}+f'(r)*\bruch{z^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
[mm] = f'(r) * \wurzel{x^2+y^2+z^2} = r * f'(r) [/mm]
ABER: Hier warst du zu schnell. Wenn du zum Beispiel [mm] $a_x=x*F(r)$ [/mm] nach x ableitest, bekommst du noch einen zweiten Term:
[mm] \bruch{\partial (xf(r))} {\partial x} = \bruch{\partial x}{\partial x} f(r) + x * f'(r) * \bruch{\partial r}{\partial x} = f(r) + f'(r) * \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm]
Insgesamt: [mm]\mathop{\mathrm{div}} a = 3f(r) + r*f'(r) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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ja! du hast recht, den habe ich vollkommen übersehen...
vielen dank für deine korrektur :)
nun möchte ich eine bedingung für f(r) finden damit div 0 wird.
Ich habe überlegt, dass das gehen würde wäre f(r)=r
3*r=r*3 das würde passen :) :)
stimmt das?
vielen lieben dank für die supertolle hilfe :) :) :) :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja! du hast recht, den habe ich vollkommen übersehen...
>
> vielen dank für deine korrektur :)
>
> nun möchte ich eine bedingung für f(r) finden damit div 0
> wird.
> Ich habe überlegt, dass das gehen würde wäre f(r)=r
> 3*r=r*3 das würde passen :) :)
>
> stimmt das?
Nein, denn links steht $3*3*r$.
EDIT: Fehlenden Faktor r in der DGL ergänzt
Es wird dir nicht anderes übrigbleiben, als die Differentialgleichung $3f(r)+r*f'(r)=0$ zu lösen.
Viele Grüße
Rainer
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yeah! ich habs :) :)
glaub ich :)
danke für den tipp mit der dgl!
ich hab einfach mal das homgene problem gelöst und komme auf [mm] f(r)=c*e^{-3x} [/mm] mit c=1
stimmt das so?
Vielen lieben Dank und einen schönen abend :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> yeah! ich habs :) :)
> glaub ich :)
> danke für den tipp mit der dgl!
>
> ich hab einfach mal das homgene problem gelöst und komme
> auf [mm]f(r)=c*e^{-3x}[/mm] mit c=1
Hallo, deine Lösung der DGL $3f+f'=0$ ist richtig, dis auf die Tatsache, dass du c ohne zusätzliche Bedingung nicht festlegen kannst.
Dummerweise habe ich mich vertippt, und die richtige DGL ist: [mm]3f(r)+r*f'(r)=0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo :) :)
oh nein das ist aber schade, dass ich c nicht einfach so festlegen darf :(
kann ich es denn dann mit [mm] e^{\lambda x} [/mm] lösen? und dann lambda=-3 setzen? wahrscheinlich darf man das auch nicht oder?
hmmm, hast vielleicht noch einen ganz kleinen tipp für mich?
Vielen lieben Dank :)
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Hallo!
ich glaube ich steh jetzt total auf den schlauch...
integriere ich mal:
-3ln(|r|)=ln f(r)
irgendwie habe ich kein [mm] \vec{r}*f(r)...
[/mm]
Ich muss Dich nun doch nochmal um Hilfe bitten... Ich hoff du kannst mir nocheinmal helfen. Vielen lieben Dank! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> ich glaube ich steh jetzt total auf den schlauch...
> integriere ich mal:
> -3ln(|r|)=ln f(r)
r kann ja nicht negativ werden, deshalb kannst du den Betrag weglassen.
Und du darfst nicht vergessen, dass du eine Integrationskonstante hast.
Da [mm] $3\ln [/mm] r = [mm] \ln r^3$ [/mm] ist:
[mm] - \ln r^3 +C = \ln f(r) \gdw C = \ln r^3 + \ln f(r) = \ln(r^3*f(r)) [/mm].
Also ist [mm] $\ln(r^3*f(r))$ [/mm] und damit auch [mm] $r^3*f(r)$ [/mm] konstant; das bekommst du auch direkt durch Anwenden der e-Funktion auf beide Seiten.
Also: [mm] $r^3*f(r)=K \gdw [/mm] f(r) = [mm] \bruch{K}{r^3} [/mm] $.
> irgendwie habe ich kein [mm]\vec{r}*f(r)...[/mm]
In der Aufgabe war doch von dem Vektorfeld [mm] $\mathbf{a} [/mm] = [mm] f(r)*\mathbf{r}$ [/mm] die Rede.
Das ist dann
[mm] \mathbf{a} = f(r)*\mathbf{r} = \bruch{K}{r^3}*\mathbf{r} = \bruch{K}{r^2}*\bruch{\mathbf{r}}{r} [/mm]
Da [mm] $\bruch{\mathbf{r}}{r}$ [/mm] der Einheitsvektor in Richtung von [mm] $\mathbf{r}$ [/mm] ist, ist
[mm] |\mathbf{a}| = \bruch{K}{r^2} [/mm],
und das sollte dir bekannt vorkommen! 
Viele Grüße
Rainer
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Hallo und guten Morgen :)
ich habe jetzt einfach mal eine Nacht drüber geschlafen und das Ganze soweit auch verstanden :)
aber ich sollte nun eine bedingung für f(r) aufstellen damit div a=0 ist.
[mm] f(r)=\bruch{K}{r^3}
[/mm]
ist dies schon die Bedingung??
Vielen lieben Dank für Deine Hilfe und einen schönen Sonntag :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 18.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und guten Morgen :)
>
> ich habe jetzt einfach mal eine Nacht drüber geschlafen
> und das Ganze soweit auch verstanden :)
>
> aber ich sollte nun eine bedingung für f(r) aufstellen
> damit div a=0 ist.
> [mm]f(r)=\bruch{K}{r^3}[/mm]
> ist dies schon die Bedingung??
Das ist richtig. Das einzige radialsymmetrische Vektorfeld, dessen Divergenz verschwindet, ist
[mm] \mathbf{a} = \bruch{K}{r^3}\mathbf{r}[/mm]
Das ist das elektrische Feld einer Punktladung im Ursprung; K ist bis auf einen konstanten Faktor die Ladung.
Eine kleine Einschränkung: diese Funktion ist für $r=0$ nicht definiert, daher kann man auch die Divergenz im Ursprung nicht ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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