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| Aufgabe | V = [mm] \vektor{5x^4 z^2 cosy \\ -x^5 z^2 siny \\ 2x^5 z cosy}
[/mm]
b) Bestimmen Sie für [mm] \lambda, \mu [/mm] aus a) ein Potential zu V |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen, ich sitze nun an dem zweiten Teil der Aufgabe.
Teil a) war die Bestimmung von [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] so, dass V ein Gradientfeld ist und oben steht mein Ergebnis (welches ich bereits abgeglichen habe und korrekt ist).
Aufgabe b) habe ich auch bereits gelöst, doch ich habe eine Frage bezüglich einer Kleinigkeit. Erstmal die Gleichungen:
Phi (x, y, z) = [mm] 5x^5 z^2 [/mm] cosy + c(y, z)
Phi (x, y, z) = [mm] -x^5 z^2 [/mm] siny + c'(....x, z ???) -> c'(x, z) = 0
Phi (x, y, z) = [mm] 2x^5 [/mm] z cosy + c'(...y, z???) -> c'(y, z) = 0
Phi (x, y, z) = [mm] x^5 z^2 [/mm] cosy + c
Die Abhängigkeiten der Variablen begreife ich nicht. Ich finde dazu auch bisher keine Erklärung, die mir das verdeutlicht.
Wäre jemand so nett und könnte mir erklären welche Variable da genau hingehört, und warum?
Gruß
Pingumane
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Hallo Pingumane,
> V = [mm]\vektor{5x^4 z^2 cosy \\ -x^5 z^2 siny \\ 2x^5 z cosy}[/mm]
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> b) Bestimmen Sie für [mm]\lambda, \mu[/mm] aus a) ein Potential zu
> V
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallöchen, ich sitze nun an dem zweiten Teil der Aufgabe.
> Teil a) war die Bestimmung von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] so, dass V
> ein Gradientfeld ist und oben steht mein Ergebnis (welches
> ich bereits abgeglichen habe und korrekt ist).
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> Aufgabe b) habe ich auch bereits gelöst, doch ich habe
> eine Frage bezüglich einer Kleinigkeit. Erstmal die
> Gleichungen:
>
> Phi (x, y, z) = [mm]5x^5 z^2[/mm] cosy + c(y, z)
> Phi (x, y, z) = [mm]-x^5 z^2[/mm] siny + c'(....x, z ???) ->
> c'(x, z) = 0
> Phi (x, y, z) = [mm]2x^5[/mm] z cosy + c'(...y, z???) ->
> c'(y, z) = 0
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> Phi (x, y, z) = [mm]x^5 z^2[/mm] cosy + c
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> Die Abhängigkeiten der Variablen begreife ich nicht. Ich
> finde dazu auch bisher keine Erklärung, die mir das
> verdeutlicht.
> Wäre jemand so nett und könnte mir erklären welche
> Variable da genau hingehört, und warum?
>
Zunächst integrierst Du die 1. Komponente des Vektorfeldes nach x:
[mm]\varphi\left(x,y,z\right)=\integral_{}^{}{5x^4 z^2 cos(y) \ dx}=x^5 z^2 cos(y)+c\left(y,z\right)[/mm]
Dies differenzierst Du jetzt nach y und vergleichst
mit der 2. Komponente des Vektorfeldes:
[mm]\bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-x^5 z^{2} \sin\left(y\right)+\bruch{\partial c}{\partial y}=-x^5 z^{2}\sin\left(y\right) \Rightarrow \bruch{\partial c}{\partial y}=0[/mm]
Die Ausgangsfunktion [mm]\varphi\left(x,y,z\right)[/mm] differenziert nach z
und verglichen mit der 3. Komponente des Vektorfeldes:
[mm]\bruch{\partial \varphi}{\partial z}=2x^5 z \cos\left(y\right)+\bruch{\partial c}{\partial z}=2x^5 z \cos\left(y\right) \Rightarrow \bruch{\partial c}{\partial z}=0[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]\varphi\left(x,y,z\right)=x^5 z^2 cos(y)+c[/mm]
>
> Gruß
> Pingumane
Gruss
MathePower
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Jaja, die Schritte sind mir klar und auf die Ergebnisse bin ich ja gekommen, nur verstehe ich nicht, welche Variablen ich in die c-Funktion packen soll. Da, wo ich die ganzen Fragezeichen hingemacht habe. :)
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Abend,
die Abhängigkeit von der Konstanten von den Variablen bestimmst du doch so:
Wenn du nach x integrierst, dann darf die Konstante nicht von x abhängen, denn die Ableitung nach x muss ja dann wieder verschwinden.
MathePower hat das eigentlich schon ganz gut hingeschrieben:
Sei mal f(x,y,z). Dann integrieren wir mal nach x:
[mm] \int [/mm] f(x,y,z)dx=F(x,y,z)+c(y,z)
Warum? Wenn wir F(x,y,z)+c(y,z) nach x differenzieren, dann folgt doch eben gerade
[mm] \partial_x(F(x,y,z)+c(y,z))=f(x,y,z)
[/mm]
Also schnell und einfach gesagt:
Wenn du nach einer Variablen k integriest, dann ist die Konstante gerade nicht von dieser Variablen abhängig.
Grüße!
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Ja, genau. Das, was du als Beispiel hast verstehe ich vollkommen.
In meiner ersten Zeile
Phi (x, y, z) = [mm] x^5 z^2 [/mm] cosy + c(y, z)
steht ja auch kein x. Warum, das ist mir in diesem Fall klar und das hast du auch noch einmal verdeutlicht.
Doch dann leite ich ja nach y ab und erhalte:
Phi (x, y, z) = [mm] -x^5 z^2 [/mm] siny + c'(.... <--- ?
Da, an der Stelle hapert es. Bleibt x weiterhin weg und c ist dann nur noch von z abhängig? Oder doch x und z? Diesen Teil begreife ich irgendwie nicht.
Falls ihr mir das schon irgendwie beantwortet habt, dann tut es mir Leid, dass ich das bisher nicht verstanden habe...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pingumane,
die Antwort auf Deine Frage hat Dir Mathepower bereits in seiner Rechnung gegeben, aber Du hast wahrscheinlich darüber hinweg gelesen.
Für die Ableitung Deiner Funktion Phi nach y bekommt man
[mm] \bruch{\partial Phi(x,y,z)}{\partial y} = -x^5 z^2 \sin (y) + \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y} [/mm]
Was sich nun für [mm] \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y}[/mm] ergibt, das bekommst Du heraus, in dem Du diesen Ausdruck mit der zweiten Komponente des Vektorfeldes vergleichst, also
[mm] -x^5 z^2 \sin (y) + \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y} = -x^5 z^2 \sin (y) [/mm]
Demzufolge gilt hier
[mm] \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y} = 0 [/mm]
Und so hangelt man sich durch alle Abhängigkeiten durch.
Viele Grüße,
Infinit
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Vielen Dank für deine Antwort.
Also, so wie ich das verstehe müsste ja dann in der Klammer immer (y,z) stehen, egal in welcher Zeile... richtig?
Denn ich habe ja einmal nach x integriert, damit fällt ja das x aus der Abhängigkeit.
Aber ich dachte, wenn ich dann widerum nach y oder z differenziere, müsste sich der Ausdruck in der Klammer ändern. Aber das stimmt dann wohl nicht.
Wovon ich nämlich immer ausgegangen bin ist dieser Eintrag hier in den Vorlesungsnotizen: ![[]](/images/popup.gif) Notizen
Ich hatte den Teil nur überflogen und mir war aufgefallen, dass sich die Abhängigkeiten bei c stets ändern. Aber das liegt ja daran, dass stets nach einer anderen Variable integriert wird, wie ich heute beim nochmaligen draufblicken festgestellt habe. Was die Professorin in diesem Abschnitt ausdrücken will bleibt mir zwar ein Rätsel, aber darum soll es hier ja nicht gehen.
Also noch einmal kurz die wesentlichen Fragen:
Beim Ableiten der bereits integrierten Gleichung bleibt der Asdruck bei c erhalten, oder wird er verändert?
Und: In meinem Lösungsweg muss dann stets c'(x, y) stehen, wenn ich das richtig verstanden habe?
Viele Grüße
Pingumane
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Sa 21.06.2014 | | Autor: | leduart |
HALLO
Was dene professorin hingeschrieben hat ist völlig in Ordnung, denn du kannst ja mit jeder der Integrationen anfangen, wenn du nach z integrierst hast du c(x,y) usw. wenn du das dann nach x differenzierst hast du dc(xy/dx das wieder mit dem Rest nach x integriert und es bleibt nur ein C(y) usw.
c' ist ungeschickt weil du ja c(y,z) nach x oder y ableiten kannst was ist c' dann?
die Frage "Beim Ableiten der bereits integrierten Gleichung bleibt der Asdruck bei c erhalten"
versteh ich nicht was ist der Ausdruck "bei c"
wahrscheinlich musst du nur die Beispiele ansehen um die Frage zu beantworten.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Pingumane |
Jetzt habe ich endlich Begriffen warum ich so verwirrt war und euch das Leben so schwer gemacht habe.
Mein Lösungsweg war nämlich folgender:
Nach x integrieren -> nach y ableiten.
Zurück zur nach x integrierten Formel -> diese nach z ableiten.
Das ist vom Prinzip ja okay, wenn man begriffen hat, wie sich alles verhält. Aber ich hatte nicht verstanden, dass man, sobald man nach y abgeleitet hat, DIESE Formel nach y integriert. Dann fällt ja auch klarerweise das y aus c(y, z) raus und es bleibt c(y).
Vielen Dank an alle Beteiligten :)
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![[]](http://s14.directupload.net/images/140621/lm43sssg.png){kind=small}
Notizen