Vektorfeld Potentialfkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Gegeben ist das Vektorfeld [mm]\vec g : \IR^3 \mapsto \IR^3 [/mm] mit
[mm]\vec g (x,y,z) \ =\ \begin{pmatrix}{e^z - y \\ 2y - x \\ x e^z + 1 \end{pmatrix}[/mm]
Untersuchen Sie, ob [mm]\vec g[/mm] ein Potential besitzt, und berechnen Sie das Kurvenintegral [mm]\integral_{G}{\vec g \ d \vec x}[/mm] für die Kurve G die im [mm]\IR^3 [/mm] den Anfangspunkt [mm]P_1 = (0, 1, -1)[/mm] geradlinig mit dem Endpunkt [mm]P_2 = (1,0,0)[/mm] verbindet. |
Hallo,
ich habe zu dieser Aufgabe eine Lösung, allerdings bin ich unsicher ob diese richtig ist. Wäre nett wenn jemand mal einmal bitte drüberschaut, bin auf diesem Gebiet noch gut unsicher.
Prüfe ob es ein Potential gibt:
[mm]
\frac{\partial g_1}{\partial y} = -1 = \frac{\partial g_2}{\partial x}
[/mm]
[mm]
\frac{\partial g_1}{\partial z} = e^z = \frac{\partial g_3}{\partial x}
[/mm]
[mm]
\frac{\partial g_2}{\partial y} = 0 = \frac{\partial g_3}{\partial y}
[/mm]
Bastel die Formel:
[mm]U_x = g_1 = e^z - y[/mm]
[mm]\integral{e^z - y dx} = x e^z - x y + h(y,z)[/mm]
[mm]U_y = g_2 = -x + h_y = -x + 2y \ \ \ \ \Rightarrow h_y = 2y[/mm]
[mm]\integral{2y dy} = y^2 + c(z)[/mm]
[mm]u = x e^z - x y + y^2 + c(z)[/mm]
[mm]U_z = g_2 = x e^z + c_z = x e^z + 1 \ \ \ \ \Rightarrow c_z = 1[/mm]
[mm]\integral{1 dz} = z[/mm]
[mm]u(x,y,z) = x e^z - x y + y^2 + z[/mm]
[mm]\integral_{G}{\vec g \ d \vec x} = u(0,1,-1) - u(1,0,0) = -1[/mm]
Stimmt das Ergebnis so und gibt es vll eine elegantere Methode die Potentialfunktion herzuleiten?
Wünsche einen schönen Abend,
Lyrone.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens !
FRED
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