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Forum "Vektoren" - Vektorielle Abhänigkeit
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Vektorielle Abhänigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Aufgabe
Die Vektoren x, y, z seien linear unabhängig. Untersuche, ob dann auch die Vektoren u, v, w linear unabhängig sind, wenn gilt:

u=y+x     v=3x-y+2z     w=-2x+y-z

Ich habs schon mit ineinander einsetzen probiert, allerdings macht das das ganze nur komplizierter, daher hoffe ich auf eure Unterstützung.

        
Bezug
Vektorielle Abhänigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Do 17.03.2011
Autor: fred97

Überprüfe, ob aus

   $0=r*u+s*v+t*w$  (r,s und t Skalare)

zwingend folgt, das r=s=t=0 ist.

Wenn das so ist, so sind u,v,w linear unabhängig, andernfalls linear abhängig.

FRED

Bezug
                
Bezug
Vektorielle Abhänigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Das habe ich jetzt gemacht, u, v und w durch x, y und z ersetzt, ausmultipliziert, dann die Vektoren ausgeklammert und ein LGS aufgemacht. Daraus hat sich dann ergeben, dass [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] ist. Ergo sind u, v und w linear unabhängig, korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Vektorielle Abhänigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 17.03.2011
Autor: fred97


> Das habe ich jetzt gemacht, u, v und w durch x, y und z
> ersetzt, ausmultipliziert, dann die Vektoren ausgeklammert
> und ein LGS aufgemacht. Daraus hat sich dann ergeben, dass
> [mm]\lambda=\mu=\nu=0[/mm] ist.



>  Ergo sind u, v und w linear
> unabhängig, korrekt?

Ja, wenn Du mit [mm] \lambda, \mu [/mm] , [mm] \nu [/mm] die Skalare meinst, die ich mit r,s t bez. habe.

FRED




Bezug
                                
Bezug
Vektorielle Abhänigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Ja, wir benennen die immer so, deswegen hab ich das mal beibehalten. Vielen Dank für deine Hilfe!

Bezug
        
Bezug
Vektorielle Abhänigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Do 17.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Die Vektoren x, y, z seien linear unabhängig. Untersuche,
> ob dann auch die Vektoren u, v, w linear unabhängig sind,
> wenn gilt:
>  
> u=y+x     v=3x-y+2z     w=-2x+y-z
>  Ich habs schon mit ineinander einsetzen probiert,
> allerdings macht das das ganze nur komplizierter, daher
> hoffe ich auf eure Unterstützung.


Wenn x,y,z linear unabhängig sind, könnte man sie
als Basisvektoren eines Koordinatensystems erklären,
in welchem dann

   $\ u\ =\ [mm] \pmat{1\\1\\0}$ [/mm]     $\ v\ =\ [mm] \pmat{3\\-1\\2}$ [/mm]     $\ w\ =\ [mm] \pmat{-2\\1\\-1}$ [/mm]

gilt. Vorteil: Einsparung von Schreibarbeit.
Auf lineare Unabhängigkeit kann man dann z.B.
durch Berechnen der Determinante

      $\ [mm] det\left(\pmat{1&3&-2\\1&-1&1\\0&2&-1}\right)$ [/mm]

testen.

LG    Al-Chw.    


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