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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey, ich habe da mal ein paar Multiple Choice Aufgaben. Sind meine Antworten/Gedanken soweit richtig?!
(I) Es sei V ein Vektorraum über ein Körper K und U und W Teilräume von V mit V = U + W. Weiter Seien X = [mm] \left\{ u_1,...,u_m \right\} \subseteq U [/mm] eine m-elementige und Y = [mm] \left\{ w_1,...,w_n \right\} \subseteq W [/mm] eine n-elementige Teilmenge.
1. Ist [mm] span_k [/mm] ( [mm] X \cup Y [/mm] ) = V, so ist [mm] span_k [/mm] X = U und [mm] span_k [/mm] Y = W.
Aussage wahr, weil wenn der aufgespannte Raum der Vereinigung bereits V entspricht, so muss die Aussage gelten, weil X ja Teilmenge von U und Y Teilmenge von W ist.
2. Ist dimU = m und dimW = n, so ist dimV [mm] \ge [/mm] m+n.
Aussage falsch, weil die Teilräume U und W linear abhängig sein könnten.
3. Ist X Basis von U und Y Basis von W, so ist [mm] X\cup Y [/mm] Basis von V.
Aussage falsch, weil die Basiselemente von U und W linear abhängig sein könnten.
4. Ist dimV = m+n und [mm] span_k [/mm] X=U und [mm] span_k [/mm] Y=W, so ist [mm] X\cup Y [/mm] Basis von V.
Wahr, weil X nur m-Elemente und Y nur n-Elemente besitzt. Und wenn die daraus aufgespannten Räume U bzw. W entsprechen, muss die Vereinigung von X und Y Basis zu V sein.
5. Ist [mm] U\cap W = \left\{ 0 \right\} [/mm] und sind X und Y linear unabhängig, so ist auch [mm] X\cup Y [/mm] linear unabhängig.
wahr, weil wenn der Durchschnitt von U und W der leeren Menge entspricht muss ja auch der Durchschnitt von X und Y der leeren Menge antsprechen. Und wenn X und Y jeweils linear unabhängig sind, so muss das auch dür die Vereinigung von X und Y gelten.
(II) Es sei V ein Vektorraum über einen Körper K und [mm] U_1 [/mm] , [mm] U_2 [/mm] endlichdimensionale Untervektorräume von V.
1. Es sei V von endlicher Dimension n, es gelte [mm] dim \left( U_1 \right) = dim \left( U_2 \right) = n-1 [/mm] und [mm] U_1 \ne U_2 [/mm]. Gilt dann notwendigerweise [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = V ?
nein, weil ja zB [mm] U_2 [/mm] ein Vielfaches von [mm] U_1 [/mm] sein könnte. Damit hätten sie zwar dieselbe Dimension aber ergeben nicht V.
2. Ist es möglich, dass dimV = 12, [mm] dim\left( U_1 \right) = dim\left( U_2 \right) = 8 und dim\left( U_1 \cap U_2 \right) = 3 [/mm] gilt?
nein, die Dimension des Durchschnittes müsste mindestens 4 betragen.
3. Würde man [mm] U_1 [/mm] - [mm] U_2 [/mm] := [mm] \left\{ x-y | x\in U_1 , y\in U_2 \right\} [/mm] definieren, so würde gelten:
(a) [mm] U_1 [/mm] - [mm] U_1 [/mm] = [mm] \left\{ 0 \right\} [/mm] (b) [mm] (U_1 [/mm] - [mm] U_2) [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] U_1 [/mm] (c) [mm] U_1 [/mm] - [mm] U_2 [/mm] = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher... eigentlich müssten doch sowohl (a), als auch (b) gelten. Oder nicht?
4. Welche Dimension hat ein Vektorraum mindestens?
Ich würde 1 sagen, weil bei 0 wäre es ja kein Vektorraum...
So ich hoffe meine Gedanken sind nicht ganz abwegig...  Über Statements würde ich mich sehr freuen...!
Danke, Gruß Mitch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Einalem |
Hi,
sitze grad an ähnlichen Aufgaben. Bei den meisten hänge ich auch in der Luft, aber bei der Frage "Welche Dimension hat ein Vektorraum mindestens" denke ich, dass null die Antwort ist, weil ein Vektorraum mindenstens aus dem Nullvektor besteht und dann die leere Menge als Basis hat.
LG Melli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Do 01.12.2005 | | Autor: | Mitch |
hey die Fragen haben sich inzwischen geklärt.
(I) 1. Aussage falsch!
(II) 1. Aussage richtig!
(II) 3. c ist richtig!
(II) 4. 0 ist natürlich die richtige Antwort... 
ansonsten müsste alles richtig sein...
Gute Nacht
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