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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 23.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind reelle Vektorräume?
M1= { [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 2}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] }
M2= { [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] }
M3= {0}
M4= { [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ 0} \in R^3, [/mm] x1 [mm] \ge [/mm] x2 }
M5= { [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0}, \lambda *\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] mit [mm] \lamba \in [/mm] R}
M6= { [mm] \vektor{x\\0\\y} [/mm] mit xy=0, x,y [mm] \in [/mm] R}
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Hallo,
wie kann ich entscheiden, wann eine Menge ein reeller Vektorraum ist?
gruß
wolfgang
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Hallo wolfgang,
> Welche der folgenden Mengen sind reelle Vektorräume?
>
> [mm] $M1=\{\vektor{1 \\ 4 \\ 2}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0}\}$
[/mm]
>
> $M2= [mm] \{ \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}\}$
[/mm]
>
> $M3= [mm] \{0\}$
[/mm]
>
> $M4= [mm] \{\vektor{x1 \\ x2 \\ 0} \in R^3, x1 \ge x2 \}$
[/mm]
>
> M5= [mm] \{\vektor{1 \\ -2 \\ 0}, \lambda *\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \text{ mit }\lamba \in R\}
[/mm]
>
> Hallo,
>
> wie kann ich entscheiden, wann eine Menge ein reeller
> Vektorraum ist?
indem du zeigst, dass die Eigenschaften eines Vektorraums erfüllt werden, in diesen Fällen vor allem die Abgeschlossenheit:
mit je zwei Elementen ist auch stets die Summe wieder ein Vektor, der zum Raum gehört.
[Tipp: fahr mal mit der Maus über meine Formeln, damit du erkennen kannst, wie ich sie geschrieben habe, damit der Formeleditor sie ordentlich schreibt...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 25.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ok. Habe mal nachgeschaut, wie ein Vektorraum definiert ist:
Ein Vektorraum ist eine nichtleere Menge für deren Elemente [mm] \vec{a}, \vec{b} \in [/mm] V
Addition und Multiplikation so erklärt wird, dass folgende Axiome erfüllt sind:
1. [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{a} [/mm] für alle [mm] \vec{b}, \vec{a} [/mm]
2. [mm] (\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}) [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c}) [/mm] für alle [mm] \vec{b}, \vec{a} [/mm]
3. vec{a} + [mm] \vec{0} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] neutrales Element (Addition)
4. [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{-a} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] inverses Element (Addition); zu jedem [mm] \vec{a} [/mm] gibt es ein [mm] \vec{-a}
[/mm]
5. [mm] (r*s)*\vec{a}= r*(s*\vec{a}) [/mm]
6. [mm] r*(\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b})= r*\vec{a}+ r*\vec{b}
[/mm]
7. [mm] (r+s)*\vec{a}= r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{a}
[/mm]
8. [mm] 1*\vec{a}=\vec{a}
[/mm]
dennoch komme ich nicht so recht weiter.
meine vermutung ist
M1, M4, M5 sind reelle Vektorräume, stimmt das?
bei M2, M3, M6 habe ich meine zweifel, also würde ich vermuten, das dort keine reellen vektorräume vorliegen -> ???
vielen dank für eure hilfe!
gruß
wolfgang
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Hi, Wolfgang,
> ok. Habe mal nachgeschaut, wie ein Vektorraum definiert
> ist:
>
> Ein Vektorraum ist eine nichtleere Menge für deren Elemente
> [mm]\vec{a}, \vec{b} \in[/mm] V
>
> Addition und Multiplikation so erklärt wird, dass folgende
> Axiome erfüllt sind:
>
> 1. [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{a}[/mm] für alle
> [mm]\vec{b}, \vec{a}[/mm]
>
> 2. [mm](\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b})[/mm] + [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm](\vec{b}[/mm] +
> [mm]\vec{c})[/mm] für alle [mm]\vec{b}, \vec{a}[/mm]
>
> 3. vec{a} + [mm]\vec{0}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] neutrales Element
> (Addition)
>
> 4. [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{-a}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] inverses Element
> (Addition); zu jedem [mm]\vec{a}[/mm] gibt es ein [mm]\vec{-a}[/mm]
>
> 5. [mm](r*s)*\vec{a}= r*(s*\vec{a})[/mm]
>
> 6. [mm]r*(\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b})= r*\vec{a}+ r*\vec{b}[/mm]
>
> 7. [mm](r+s)*\vec{a}= r*\vec{a}[/mm] + [mm]s*\vec{a}[/mm]
>
> 8. [mm]1*\vec{a}=\vec{a}[/mm]
>
Da fehlen aber zwei!
(I) Für [mm] \vec{a} [/mm] und gibt es genau ein [mm] \vec{c} \in [/mm] V, so dass
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] ist.
(Schon das ist bei Deinem Beispiel [mm] M_{1} [/mm] nicht erfüllt!))
und
(II) Für [mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] \vec{a} \in [/mm] V ist auch [mm] \lambda*\vec{a} \in [/mm] V.
> meine vermutung ist
>
> M1, M4, M5 sind reelle Vektorräume, stimmt das?
M1 nein (siehe oben!)
M4: Nein, da z.B. die additiven Inversen fehlen.
M5: Komisch geschrieben! Sollte nicht anstelle des Kommas ein + stehen?
In beiden Fällen aber: kein Vektorraum.
> bei M2, M3, M6 habe ich meine zweifel, also würde ich
> vermuten, das dort keine reellen vektorräume vorliegen ->
Mit Deiner Vermutung bezüglich M2 hast Du Recht: Hier fehlen die Vielfachen (das von mir angefügte Axiom (II) ist nicht erfüllt!)
M3 ist der einzige Vektorraum unter Deinen Beispielen!
Und WO ist M6?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 25.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Fragestellung: Handelt es sich um einen reellen Vektorraum?
M6= [mm] {\vektor{x \\0 \\ y} mit xy=0, x,y \in R} [/mm]
(s.o.)
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hallo zwerglein,
vielen dank für die ausführlichen hinweise!
M6 hatte ich oben in die fragestellung mit hineingeschrieben...
gruß
wolfgang
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo hase-hh,
> Fragestellung: Handelt es sich um einen reellen
> Vektorraum?
>
> $M6={\vektor{x \\0 \\ y}$ mit x*y=0, [mm] x,y \in R}[/mm]
>
reell - warum nicht?
x*y=0 gilt stets, wenn (mind.) eine der beiden Zahlen 0 ist.
jetzt musst du wieder die Axiome überprüfen:
gehört [mm] r*\vektor{x\\0\\y} [/mm] zu [mm] M_6 [/mm] : da $x*y=0$ gilt, gilt offenbar auch [mm] rx*ry=r^2*\underbrace{x*y}_{=0}=0 [/mm] .
Prüf den Rest mal selbst...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Fr 09.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
also ich habe inzwischen:
M1 ist kein Vektorraum, da nicht abgeschlossen bezgl. Addition
[mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4\\ 2} [/mm]
Ergebnis [mm] \not\in [/mm] M1.
M2 ist kein Vektorraum, da nicht abgeschlossen bezügl. Multiplikation mit
einem Skalar, d.h.
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
[mm] \lambda=-2
[/mm]
-2 * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -2\\ -2} [/mm]
Ergebnis [mm] \not\in [/mm] M2.
M3 ist Vektorraum, da abgeschlossen bezgl. Addition und Multiplikation.
M4 ist kein Vektorraum, da (z.B.) die additiven Inversen fehlen.
[mm] \vec(a) [/mm] + [mm] -\vec(a) [/mm] = [mm] \vec(0)
[/mm]
[mm] \vec(a)=\vektor{5\\3 \\0} \in [/mm] M4 da x1 > x2
es muss gelten:
[mm] \vektor{5\\3 \\0} [/mm] + [mm] \vektor{-5\\-3 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0 \\0} [/mm]
aber [mm] \vektor{-5\\-3 \\0} \not\in [/mm] M4, da x1<x2.
M5 ist kein Vektorraum, da inverse Elemente bezügl. der Addition fehlen.
[mm] \vektor{1\\-2 \\0} [/mm] + [mm] \vektor{-1\\2 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0 \\0} [/mm]
[mm] \vektor{-1\\2 \\0} \not\in [/mm] M5 (kriege in y-richtung keine 2 hin)
auch im anderen diskutierten fall
[mm] \vektor{1\\-2 \\0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0\\1 \\2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-2 +\lambda \\0} [/mm]
=> ...
[mm] \vektor{1\\-2 +\lambda \\0} [/mm] + [mm] \vektor{-1\\2 -\lambda \\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0 \\0} [/mm]
auch hier [mm] \vektor{-1\\2 -\lambda \\0} \not\in [/mm] M5.
M6 ist das tatsächlich ein vektorraum? wenn ich z.b.
[mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] nehme, kann ich diesen doch gar nicht mithilfe des gegebenen vektors darstellen. reicht das nicht schon dafür, dass es kein vektorraum ist?
danke & gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Sa 10.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu M6
Du musst nicht nen beliebigen, von dir ausgedachten Vektor darstellen koennen!
[mm] M:\vektor{x \\ 0\\0} ,x\in \IR [/mm] hat deinen Vektor auch nicht, ist aber ein Vektorraum.
Aber nehm einen mit x=0,y=1 einen mit y=0,x=1. dann gehoert die Summe nicht dazu!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Sa 10.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin leduart,
super! danke!!
gruß
wolfgang
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