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| Aufgabe | V ist ein endlich erzeugter Vektorraum
Sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein echter Untervektorraum. Zeigen Sie: es gibt ein Basis
[mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] , ... , [mm] v_{n} [/mm] des V derart, dass kein [mm] v_{i} [/mm] in U liegt. |
So, die Unterraumkriterien kann ich ja weglassen, da in der Aufgabe gegeben ist, dass U ein Untervektorraum von V ist.
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Zwischenfrage:
In der originalen Aufgabe steht allerdings nicht U [mm] \subseteq [/mm] V sondern - da ist der Strich unten vom [mm] \subseteq [/mm] durchgestrichen. Was heißt das?
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Wie gehe ich als erstes an die Aufgabe ran?
Vielen Dank für Eure Hilfe
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Kann mir keiner bei dieser Aufgabe helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 27.11.2008 | | Autor: | Steini |
siehe Antwort der anderen Frage
Als Ergänzung:
Wähle beliegige Basis von U.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 27.11.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
erst mal zu deiner Zeichenfrage.
Das mit dem durchgestrichenen Strich da unten heißt, dass die Mengen nicht gleich sein dürfen, aber ich denke, davon bist du eh nicht ausgegangen, wegen echter UVR.
Du musst jetzt dann zeigen, dass es eine Basis gibt, in der kein Element in U liegt.
Als Tipp: Mach doch mal was mit dem Komplement zu U in V und überlege dir, wie du die Basisvektoren in U modifizieren müsstest, damit sie nicht mehr in U liegen, jedoch noch mit den anderen aus dem Komplement den U aufspannen.
Dürfte eigentlich nicht allzu schwer sein.
Viel Spaß damit
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Do 27.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Danke für den Tipp,
ich werds mal versuchen...
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> Als Tipp: Mach doch mal was mit dem Komplement zu U in V
> und überlege dir, wie du die Basisvektoren in U
> modifizieren müsstest, damit sie nicht mehr in U liegen,
> jedoch noch mit den anderen aus dem Komplement den U
> aufspannen.
Muss ich da jetzt folgendes schreiben?
Wir haben uns in der Vorlesung folgendes aufgeschrieben:
Seien U,W Unterräume eines Vektorraums V
Gilt U [mm] \cap [/mm] W = { [mm] \vec{0} [/mm] }, so nennt man die Summe U + W eine direkte Summe, Bezeichnung U [mm] \oplus [/mm] W
Ist die Summe U + W direkt, und gilt ferner U [mm] \oplus [/mm] W = V , so heißt W ein Komplement von U
Aber in meiner Aufgabe habe ich ja nur den einen Unterraum U aber kein W.
Wie schreibe ich das dann?
Gilt U [mm] \cap [/mm] U = { [mm] \vec{0} [/mm] } oder schreibe ich U [mm] \cap [/mm] V = { [mm] \vec{0} [/mm] }
Schreibe ich dann U [mm] \oplus [/mm] U = V oder was?
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Deine letzten drei Vorschläge sind doch alle Unsinn. Überleg mal, was Du da formulierst.
Übrigens meinst Du doch wohl kaum [mm] \vec{0}, [/mm] sondern [mm] \emptyset.
[/mm]
Reicht Dir [mm] U\subset \a{}V [/mm] nicht?
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Danke für Deinen Hinweis, dass alles Unsinn ist.
Ich gehe von meinen Unterlagen aus und versuche mir das herzuleiten.
In meinen Unterlagen steht Nullvektor und nicht leere Menge.
War das dann schon alles?
> Reicht Dir $ [mm] U\subset \a{}V [/mm] $ nicht?
Das hilft mir nicht wirklich weiter.
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Pardon. Natürlich muss es { [mm] \vec{0} [/mm] } heißen. Beide Unterräume müssen ja das neutrale Element des Oberraums enthalten. Wäre das nicht der Fall, wäre mindestens einer kein Raum oder kein Unterraum.
Trotzdem müssten Deine drei bezweifelten Relationen so heißen:
U $ [mm] \cap [/mm] $ U = U
U $ [mm] \cap [/mm] $ V = U
U $ [mm] \oplus [/mm] $ U = U (eine fragliche Notation, dies)
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Kann man definieren dass alle [mm] v_{i} \in [/mm] W sein sollen,
wenn gilt U, W [mm] \subseteq [/mm] V und U [mm] \oplus [/mm] W = V ? Dann wäre ja nämlich die Aufgabe gelöst. Ich bin mir nur nicht sicher ob man da den kompletten VR V noch damit aufspannen kann ?
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Ja, man kann und es ist nicht schwierig.
Nimm Dir als Beispiel den [mm] \IR^n, [/mm] und als Unterraum den [mm] \IR^k [/mm] mit k<n.
In der einfachsten Variante ist die Basis des [mm] \IR^k [/mm] der orthogonale Einheitsstandard. Du siehst auch, welche n-k Vektoren fehlen, um das zu einer Standardbasis des [mm] \IR^n [/mm] zu erweitern.
Wenn Du nun einen dieser "fehlenden" nimmst und ihn zu allen Basisvektoren des [mm] \IR^k [/mm] addierst, hast Du den [mm] \IR^k [/mm] verlassen, aber mit den "fehlenden" Vektoren zusammen immer noch eine Basis des [mm] \IR^n.
[/mm]
Wenn Du Dir das vorstellen kannst, ist der Weg zu einer Verallgemeinerung sehr kurz.
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