Vektorraum-Aufgaben < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mi 12.08.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen Unterektorräume?
1.: [mm] $A=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x=y=2z\}$
[/mm]
2.: [mm] $B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=0\}$
[/mm]
3.: [mm] $C=\{(\lambda + \my, \lambda^2) \in \mathbb{R}^2: \my, \lambda \in \mathbb{R}\}$
[/mm]
4.: [mm] $D=\{f \in Abb(\mathbb{R},\mathbb{R})| \forall x \in \mathbb{R}: f(x)=f(-x)\}$
[/mm]
5.: [mm] $E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x\ge y\}$
[/mm]
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1.: Sei [mm] $a=(u,v,w)\in [/mm] A$ und [mm] $b=(x,y,z)\in [/mm] A$
a+b=(u,v,w)+(x,y,z)=(u+x,v+y,w+z). u+x=v+y ist klar und wegen dem Distributivgesetz ist v+y = 2(w+z) = 2w+2z
Die skalare Multiplikation ergibt sich daraus: [mm] \lambda [/mm] a = [mm] (\lambda u,\lambda v,\lambda [/mm] w). Wenn u = v ist, ist auch [mm] $\lambda [/mm] u = [mm] \lambda [/mm] v)$ und durch u = 2w ist [mm] $\lambda [/mm] u = [mm] \lambda [/mm] 2w$
Also ist 1 ein Untervektorraum.
2.: Ja weil $B = [mm] \{0\}$.
[/mm]
3.: Nein, C ist bzgl der Addition nicht abgeschlossen: Er besitzt kein Inverses Element [mm] ($\forall \lambda \in \mathbb{R}: \lambda^2 \ge [/mm] 0$)
4.: Hier bin ich mir nicht scher. Ich würde behaupten, dass hier kein Inverses Element bzgl. der Vektoraddition existiert wenn f(x)=f(-x) gilt. Hätte ich damit recht?
5.: Sei $a=(x,y,z) [mm] \in [/mm] E$ und [mm] $\lambda \in (-\infty,0)$. [/mm] So ist [mm] $\lambda [/mm] a [mm] \notin [/mm] E$. Also ist E kein VR.
Habe ich das alles so richtig? Wie steht es um Aufgabe 4?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 12.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sind die folgenden Mengen Unterektorräume?
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> 1.: [mm]A=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x=y=2z\}[/mm]
> 2.:
> [mm]B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=0\}[/mm]
> 3.: [mm]C=\{(\lambda + \my, \lambda^2) \in \mathbb{R}^2: \my, \lambda \in \mathbb{R}\}[/mm]
>
> 4.: [mm]D=\{f \in Abb(\mathbb{R},\mathbb{R})| \forall x \in \mathbb{R}: f(x)=f(-x)\}[/mm]
>
> 5.: [mm]E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x\ge y\}[/mm]
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> 1.: Sei [mm]a=(u,v,w)\in A[/mm] und [mm]b=(x,y,z)\in A[/mm]
>
> a+b=(u,v,w)+(x,y,z)=(u+x,v+y,w+z). u+x=v+y ist klar und
> wegen dem Distributivgesetz ist v+y = 2(w+z) = 2w+2z
>
> Die skalare Multiplikation ergibt sich daraus: [mm]\lambda[/mm] a =
> [mm](\lambda u,\lambda v,\lambda[/mm] w). Wenn u = v ist, ist auch
> [mm]\lambda u = \lambda v)[/mm] und durch u = 2w ist [mm]\lambda u = \lambda 2w[/mm]
>
> Also ist 1 ein Untervektorraum.
Stimmt
>
> 2.: Ja weil [mm]B = \{0\}[/mm].
Stimmt
>
> 3.: Nein, C ist bzgl der Addition nicht abgeschlossen: Er
> besitzt kein Inverses Element ([mm]\forall \lambda \in \mathbb{R}: \lambda^2 \ge 0[/mm])
Stimmt
>
> 4.: Hier bin ich mir nicht scher. Ich würde behaupten,
> dass hier kein Inverses Element bzgl. der Vektoraddition
> existiert wenn f(x)=f(-x) gilt. Hätte ich damit recht?
Rechne nach:
f,g [mm] \in [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] f+g [mm] \in [/mm] D
und
f [mm] \in [/mm] D , [mm] \alpha \in \IR \Rightarrow \alpha [/mm] f [mm] \in [/mm] D
>
> 5.: Sei [mm]a=(x,y,z) \in E[/mm] und [mm]\lambda \in (-\infty,0)[/mm]. So ist
> [mm]\lambda a \notin E[/mm]. Also ist E kein VR.
Stimmt
FRED
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> Habe ich das alles so richtig? Wie steht es um Aufgabe 4?
>
> lg, Dennis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
Bzgl. 4 habe ich noch eine Frage:
Darf ich von der Menge verlangen, dass es zu jedem $f [mm] \in [/mm] D$ ein $-f [mm] \in [/mm] D$ gibt, derart, dass $f(x)+(-f)(x)=0$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] gibt? Das gleiche Problem ergibt sich aus skalaren Multiplikation. Gibt es für jedes [mm] $\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm] und jedes [mm] $f\in [/mm] D$ ein $g [mm] \in [/mm] D$: [mm] $\lambda [/mm] f(x) = g(x)$ für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$?
[/mm]
lg, Dennis
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> Bzgl. 4 habe ich noch eine Frage:
>
> Darf ich von der Menge verlangen, dass es zu jedem [mm]f \in D[/mm]
> ein [mm]-f \in D[/mm] gibt, derart, dass [mm]f(x)+(-f)(x)=0[/mm] für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]
> gibt? Das gleiche Problem ergibt sich aus skalaren
> Multiplikation. Gibt es für jedes [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm]
> und jedes [mm]f\in D[/mm] ein [mm]g \in D[/mm]: [mm]\lambda f(x) = g(x)[/mm] für alle
> [mm]x\in\mathbb{R}[/mm]?
Hallo,
in Deiner Aufgabe steht ja, daß Du die Untervektorraumeigenschaft prüfen sollst.
Für Aufg. 4. darfst Du also als bekannt voraussetzen, daß die Abbildungen v. [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] mit den entsprechenden Verknüpfungen einen VR ergeben, und mußt prüfen, ob die Abbildungen, deren Graphen symmetrisch zur y-Achse sind, einen Untervektorraum bilden.
Hierzu brauchst Du ja lediglich die Unterraumkriterien zu zeigen.
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Wenn Du allerdings noch nicht gezeigt hast bzw. gezeigt bekamst, daß die reellen Abbildungen einen VR bilden, Du also für die zur y-Achse symmetrischen Funktionen nicht mit den Unterraumkriterien arbeiten kannst, mußt Du u.a. über das neutrale Element der Addition nachdenken.
> Darf ich von der Menge verlangen, dass es zu jedem [mm]f \in D[/mm]
> ein [mm]-f \in D[/mm] gibt, derart, dass [mm]f(x)+(-f)(x)=0[/mm] für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]
Nein, einfach "verlangen" darfst Du das nicht, sondern Du mußt zeigen, daß ein entsprechendes Element in der Menge D liegt.
Sei [mm] f\in [/mm] D. (dh. für alles x ist f(x)=f(-x)).
Nun zeigen wir, daß es ein inverses Element bzgl + gibt.
Die Nullfunktion, von welcher ich voraussetze, daß Du gezeigt hast, daß sie in D liegt, bezeichne ich mit n.
Ich definiere nun kurzerhand eine passende Abbildung, zeige, daß sie in D liegt und das Geforderte tut:
Def.
[mm] -f:\IR\to \IR
[/mm]
(-f)(x)=-f(x)
Meditiere kurz hierüber: -f ist der Name einer Funktion. -f(x) ist das negative von f(x).
Zeige nun, daß -f symmetrisch zur y-Achse ist, indem Du vorrechnest, daß (-f)(-x)=(-f)(x) ist.
Wenn Dich die Minuszeichen verrückt machen, nenne -f um in [mm] f^{\*}. [/mm] Manchmal fällt einem der Durchblick dann leichter.
Wenn Dir dies gelungen ist, zeige, daß f+(-f)=n richtig ist, indem Du vorrechnest, daß für alle x gilt (f+(-f))(x)=n(x)=0.
Ich hoffe, daß ich damit Antwort auf das gegeben habe, was Du meintest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Fr 14.08.2009 | | Autor: | pittster |
Ok, ich gehe einmal davon aus, dass ich richtig verstanden habe, was die Null-Abbildung ist:
Die Nullabbildung [mm] $n\in [/mm] D$ ist die Abbildung für die gilt: [mm] $\forall x\in \mathbb{R}: [/mm] n(x)=0$. n muss in D liegen, weil n(x)=0=n(-x)
Für irgendein [mm] $f\in [/mm] D$ ist also f(x) + n(x) = f(-x) + n(x) = f(x) = f(-x)
Sei nun eine weitere Abbildung [mm] $g\in [/mm] D$ mit der Eigenschaft $g(x)=-1 [mm] \cdot [/mm] f(x) = -1 [mm] \cdot [/mm] g(-x) = f(-x)$, also g(x)+f(x)=n(x) für alle x, so ist g das bzgl der Addition inverse Element.
Jetzt noch die skalare Multiplikation:
Sei [mm] $h\in [/mm] D, [mm] \lambda\in \mathbb{R}$. [/mm] Weil g(x)=g(-x) gelten muss, gilt auch [mm] $\lambda [/mm] g(x) = [mm] \lambda [/mm] g(-x)$ und nun sei $h(x) = [mm] \lambda [/mm] g(x) = [mm] \lambda [/mm] g(-x) = h(-x)$. Also ist h das skalare Vielfache von g(x).
Die Vektorraum-Eigenschaften und Vorraussetzungen sind mir nicht neu, das auf Abbildungen anzuwenden, darüber habe ich bisher noch nie nachgedacht. Ich war da ein wenig irritiert von den Variablen, die da übergeben werden.
Habe ich das oben aufgeschriebene denn soweit richtig verstanden?
lg, Dennis
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> Die Nullabbildung [mm]n\in D[/mm] ist die Abbildung für die gilt:
> [mm]\forall x\in \mathbb{R}: n(x)=0[/mm]. n muss in D liegen, weil
> n(x)=0=n(-x)
Hallo,
ja, so ist es.
Nun willst Du wohl zeigen, daß n das neutrale Element in D bzgl. + ist.
> Für irgendein [mm]f\in D[/mm] ist also f(x) + n(x) = f(-x) + n(x) =
> f(x) = f(-x)
Du machst hier zu viel. Du willst ja nichts anderes zeigen, als daß für jedes [mm] f\in [/mm] D gilt, daß f+n=f.
Dazu mußt Du bloß vorrechnen, daß (f+n)(x)=f(x) ("zwei Funktionen, hier f+n und f, sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen übereinstimmen.")
(f+n)(x)= f(x)+n(x)= ... An dieser Stelle mußt Du jetzt ausdrücklich die 0 ins Spiel bringen. Überlege Dir auch für jeden Schritt eine Begründung.
>
> Sei nun eine weitere Abbildung [mm]g\in D[/mm] mit der Eigenschaft
> g(x)=-1 [mm] \cdot [/mm] f(x)
So. Nun definierst Du zu [mm] f\in [/mm] D eine passende Funktion g durch
g(x):=-1*f(x) für alle x.
Nun mußt Du erstmal zeigen, daß die Funktion auch in D ist, daß also g(x)=g(-x),
> [mm]g(x)=-1 \cdot f(x) = -1 \cdot g(-x) = f(-x)[/mm],
und dies ist erstens falsch und zweitens nicht das, was zu zeigen ist.
> also
> g(x)+f(x)=n(x) für alle x, so ist g das bzgl der Addition
> inverse Element.
Das müßte als nächstes vorgerechnet werden.
>
>
> Jetzt noch die skalare Multiplikation:
Sag' immer erstmal genau, was Du zeigen möchtest:
Für jedes [mm] g\in [/mm] D und für jedes [mm] \lambda\in \R [/mm] ist die Funktion h mit [mm] h(x):=\lambda [/mm] g(x) auch in D.
>
> Sei [mm]h\in D,
Nein. Daß das so ist, willst Du erst zeigen!
Sei g\in D und h definiert durch h(x):=\lambda g(x)
> \lambda\in \mathbb{R}[/mm].
>Weil g(x)=g(-x) gelten
> muss, gilt auch [mm]\lambda g(x) = \lambda g(-x)[/mm] und nun sei ist
> [mm]h(x) = \lambda g(x) = \lambda g(-x) = h(-x)[/mm]. Also ist h das
> skalare Vielfache von g(x).
Nein, dies steht nicht in Frage. Du hast nun gezeigt, daß h, also jedes skalare Vielfache von g, auch in D liegt.
>
>
> Die Vektorraum-Eigenschaften und Vorraussetzungen sind mir
> nicht neu, das auf Abbildungen anzuwenden, darüber habe
> ich bisher noch nie nachgedacht. Ich war da ein wenig
> irritiert von den Variablen, die da übergeben werden.
>
>
> Habe ich das oben aufgeschriebene denn soweit richtig
> verstanden?
Wie Du siehst, ist manches richtig und maches nicht ganz richtig.
Die Fehler stecken weniger in den Rechnungen als darin, daß Dir anscheinend manchmal nicht ganz klar ist, was Du eigentlich tust bzw. tun willst - das ist Standard beim Durchschnittsanfänger.
Hier hilft es, wenn man vor genau aufschreibt, was man zeigen will. Dann verhaspelt man sich nicht so leicht - für den korrektor ist's auch angenehm.
Wenn ich Dich recht verstanden hatte, wolltest Du ja zeigen, daß D ein UVR von [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] ist.
Dazu hast Du zwei Möglichkeiten, die ich Dir zuvor vorgestellt hatt,
Du hast den Weg eingeschlagen, von der Pike auf zu zeigen, daß D ein VR ist mir den durch mit den durch
(f+g)(x):=f(x)+g(x) und [mm] (\lambda f)(x):=\lambda [/mm] f(x) f.a. [mm] f,g\in [/mm] D und [mm] \lambda\in \IR [/mm] definierten Verknüpfungen.
Schau Dir die VR-Axiome an und entscheide, was Du bisher getan hast, und was Du noch alles zeigen müßtest. (Ob Du das dann auch wirklich noch durchführst, ist Dir üerlassen.)
Danach versuche diesen Unterraumbeweis aber mal mit den Unterraumkriterien, also indem Du voraussetzt, daß Du bereits gezeigt hast, daß [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] ein VR ist.
Gruß v. Angela
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