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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass V := [mm] \IR [/mm] mit den Verknüpfungen
[mm] \oplus [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V, x [mm] \oplus [/mm] y : = x [mm] \* [/mm] y
[mm] \odot [/mm] : [mm] \IR \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V, k [mm] \odot [/mm] x : = [mm] x^{k}
[/mm]
ein Vektorraum ist.
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An sich ist diese Aufgabe ja nicht so schwierig, ich habe nur Schwierigkeiten mit der zweiten Verknüpfung bzgl. des Kommutativgesetzes.
Vielleicht kann mir ja dabei jemand helfen. Danke
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Hallo Lisa,
Zunächst muss [mm] $(V,\oplus)=(\IR,\oplus)$ [/mm] eine abelsche Gruppe sein
Dann:
Was genau meinst du mit "Kommutativität bzgl. [mm] $\odot$" [/mm] ?
Es muss doch nur eine gewisse "Verträglichkeit" mit der Multiplikation mit Skalaren sichergestellt sein, in dem Sinne, dass gilt:
(1) [mm] $\forall k,l\in\IR \, \forall x\in V=\IR [/mm] : [mm] (k\odot l)\odot x=k\odot (l\odot [/mm] x)$
(2) [mm] $\forall k,l\in\IR \, \forall x\in V=\IR [/mm] : [mm] (k\oplus l)\odot x=(k\odot x)\oplus(l\odot [/mm] x)$
(3) [mm] $\forall k\in\IR \, \forall x,y\in V=\IR [/mm] : [mm] k\odot (x\oplus y)=(k\odot x)\oplus (k\odot [/mm] y)$
(4) [mm] $\exists 1\in\IR \, \forall x\in V=\IR [/mm] : [mm] 1\odot [/mm] x=x$
Das musst du nachweisen
LG
schachuzipus
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hey ja danke, dann stimmt das schon wie ich des gemacht habe, wollt mich bloß noch vergewissern.
Vielen Dank lg
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Hallo nochmal, Lisa,
bist du sicher, dass die Aufgabe so, wie sie da steht, richtig abgeschrieben ist?
Muss es nicht eher [mm] $V=\IR\setminus\{0\}$ [/mm] heißen?
[mm] $(\IR,\oplus)$ [/mm] ist nämlich keine Gruppe, denn 0 hat kein Inverses....
Schau bitte nochmal nach
Gruß
schachuzipus
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Nein da steht schon V : = [mm] \IR
[/mm]
wenn dann die null nicht dabei ist, muss ich dann etwa auf irgendwas aufpassen?
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