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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 23.11.2008 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | 1)
Gegeben sei:
[mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 0$
[mm] $-x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] - [mm] 3x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 0$
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 0$
[mm] $x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 0$
a) Finden Sie eine Basis des Lösungsraumes
b) Bestimmen Sie die Dimension
2)
Gegeben seien zwei Untervektorräume [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] eines Vektorraumes V.
Zeigen Sie: Wenn [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] ein Untervektorraum von V ist, so gilt [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] subseteq [mm] U_1 [/mm] |
hi,
lange rede kurzer sinn: ich brauch wieder einmal eure hilfe:
zu 1:
wenn ich unseren tutor richtig verstanden habe, bilden die vektoren im loesungsraum die basis. mein loesungsraum sieht so aus:
$Loes := [mm] \left\{ \lambda_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$
[/mm]
wenn die beiden vektoren nun meine basen sind, welche dimension hab ich dann?
wenn ich zwei basen habe, würde ich tippen, dass ich mich in der 2. dimension befinde, aber die anzahl der zeilen der vektoren verwirrt mich. wenn ein vektor 5 zeilen hat, ist man doch in der 5. dimension, oder?^^
argh..so verwirrend....
zu 2:
wenn ich das richtig verstanden habe, muss [mm] U_1 [/mm] in [mm] U_2 [/mm] liegen(oder umgekehrt) damit die vereinigung von beidem einen untervektorraum sein kann, denn sonst koennte es probleme mit der abgeschlossenheit geben.
bei einer disjunktiven vereinigung koennte es ja sein, dass man zwei vektoren aus der vereinigung addiert und ganz irgendwo anders landet, was die abgeschlossenheit verletzen wuerde und damit eine bedingung fuer einen vektorraum.
stimmt das wovon ich ausgehe? wenn ja, wie beweis ich das mathematisch? :/
mfg
mangaka
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> 1)
> Gegeben sei:
> [mm]2x_1 + 2x_2 - x_3 + x_5 = 0[/mm]
> [mm]-x_1 - x_2 + 2x_3 - 3x_4 + x_5 = 0[/mm]
>
> [mm]x_1 + x_2 - 2x_3 + x_5 = 0[/mm]
> [mm]x_3 + x_4 + x_5 = 0[/mm]
> a) Finden
> Sie eine Basis des Lösungsraumes
> b) Bestimmen Sie die Dimension
>
> 2)
> Gegeben seien zwei Untervektorräume [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] eines
> Vektorraumes V.
> Zeigen Sie: Wenn [mm]U_1 \cup U_2[/mm] ein Untervektorraum von V
> ist, so gilt [mm]U_1 \subseteq U_2[/mm] oder [mm]U_2[/mm] subseteq [mm]U_1[/mm]
> hi,
> lange rede kurzer sinn: ich brauch wieder einmal eure
> hilfe:
>
> zu 1:
> wenn ich unseren tutor richtig verstanden habe, bilden die
> vektoren im loesungsraum die basis. mein loesungsraum sieht
> so aus:
> [mm]Loes := \left\{ \lambda_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> wenn die beiden vektoren nun meine basen sind, welche
> dimension hab ich dann?
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts.
Wenn der Lösungsraum so aussieht, dann bilden die beiden Vektoren zusammen eine Basis des Lösungsraumes. (Vergleiche das bitte mit dem, was Du sagst und was völlig falsch ist.)
> wenn ich zwei basen habe,
Sagt das gar nichts aus.
Aber wenn eine basis des betrachteten Raumes aus zwei Basisvektoren besteht, hat der Raum die Dimension 2.
Das meintest Du ja auch. Achte auf Deine Worte.
> würde ich tippen, dass ich mich
> in der 2. dimension befinde, aber die anzahl der zeilen der
> vektoren verwirrt mich. wenn ein vektor 5 zeilen hat, ist
> man doch in der 5. dimension, oder?^^
Wenn der Vektor 5 Zeilen hat, bedeutet das, daß er einem 5-dimensionalen (Ober)Raum entspannt.
Du hast hier mit der Lösungsmenge einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^5 [/mm] vorliegen.
Die Aufgabe 2 hat mit der vorhergehenden ja gar nichts zu tun. Poste sowas bitte in Zukunft in einer eienen Diskussion.
>
> zu 2:
> wenn ich das richtig verstanden habe, muss [mm]U_1[/mm] in [mm]U_2[/mm]
> liegen(oder umgekehrt) damit die vereinigung von beidem
> einen untervektorraum sein kann, denn sonst koennte es
> probleme mit der abgeschlossenheit geben.
> bei einer disjunktiven vereinigung koennte es ja sein,
> dass man zwei vektoren aus der vereinigung addiert und ganz
> irgendwo anders landet, was die abgeschlossenheit verletzen
> wuerde und damit eine bedingung fuer einen vektorraum.
> stimmt das wovon ich ausgehe?
Ja, ich finde, Du hast das schön beschrieben.
wenn ja, wie beweis ich das
> mathematisch? :/
Versuche einen Beweis durch Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mangaka |
> Hallo,
>
> nachgerechnet habe ich nichts.
>
> Wenn der Lösungsraum so aussieht, dann bilden die beiden
> Vektoren zusammen eine Basis des Lösungsraumes. (Vergleiche
> das bitte mit dem, was Du sagst und was völlig falsch
> ist.)
>
ähm ich hab genau dasselbe gesagt:
> > zu 1:
> > wenn ich unseren tutor richtig verstanden habe, bilden
> die
> > vektoren im loesungsraum die basis. mein loesungsraum sieht
> > so aus:
> > [mm]Loes := \left\{ \lambda_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
aber, es stimmt, das folgende ist schwachsinn(hab mich vertippt):
> > wenn ich zwei basen habe,
> Die Aufgabe 2 hat mit der vorhergehenden ja gar nichts zu
> tun. Poste sowas bitte in Zukunft in einer eienen
> Diskussion.
>
ok.
danke, hast mir weitergeholfen.
mfg
mangaka
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