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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass {f,g,h} mit f(x)=x-1, g(x)=5 und [mm] h(x)=3x^{2} [/mm] ein Erzeugendensystem des Vektorraums der Polynome 2.Grades ist. |
Hallo zusammen^^
Ich hab ein paar Probleme bei dieser Aufgabe.Ich hab mal angefangen,aber weiß nicht so genau,wie ich weitermachen soll.
Also zunächst hab ich mir den Vektorraum der Polynome höchstens 2.Grades aufgeschrieben:
[mm] V={f|f(x)=a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}}
[/mm]
Jetzt müsste ich ja zeigen,dass sich jede Funktion höchstens 2.Grades als Linearkombination der Funktionen f,g und h darstellen lässt,also so:
[mm] a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*(x-1)+s*5+t*3x^{2} [/mm]
[mm] a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*x-r+5*s+t*3x^{2} [/mm]
So und weiter weiß ich irgendwie nicht.Muss ich dann nach r,s und t auflösen oder wie???
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie,dass {f,g,h} mit f(x)=x-1, g(x)=5 und
> [mm]h(x)=3x^{2}[/mm] ein Erzeugendensystem des Vektorraums der
> Polynome 2.Grades ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab ein paar Probleme bei dieser Aufgabe.Ich hab mal
> angefangen,aber weiß nicht so genau,wie ich weitermachen
> soll.
>
> Also zunächst hab ich mir den Vektorraum der Polynome
> höchstens 2.Grades aufgeschrieben:
>
> [mm]V=\{f|f(x)=a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}\}[/mm]
Mengenklammern machst Du sichtbar, indem Du vor sie einen \ setzt!
> Jetzt müsste ich ja zeigen,dass sich jede Funktion
> höchstens 2.Grades als Linearkombination der Funktionen f,g
> und h darstellen lässt,also so:
>
> [mm]a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*(x-1)+s*5+t*3x^{2}[/mm]
[mm] $$\blue{\gdw}$$
[/mm]
> [mm]a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*x-r+5*s+t*3x^{2}[/mm]
>
> So und weiter weiß ich irgendwie nicht.Muss ich dann nach
> r,s und t auflösen oder wie???
Die Gleichung
[mm] $$(\star)\;\;\;a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*x-r+5*s+t*3x^{2}$$
[/mm]
muss ja für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten. Insbesondere kannst Du nun in [mm] $(\star)$ [/mm] drei spezielle Werte für [mm] $x\,$ [/mm] - nennen wir sie mal [mm] $x_1,\; x_2,\;x_3$ [/mm] - einsetzen, so dass Du damit drei Gleichungen in den Variablen [mm] $r,s,t\,$ [/mm] erhälst; wobei Du hier [mm] $x_1,\;x_2,\;x_3$ [/mm] so wählen kannst, dass das entstehende Gleichungssystem ein eindeutiges Lösungstripel $(r,s,t) [mm] \in \IR^3$ [/mm] hat.
Probiere es mal mit [mm] $x_1=-1,\;x_2=0$ [/mm] und [mm] $x_3=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Die Gleichung
> [mm](\star)\;\;\;a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*x-r+5*s+t*3x^{2}[/mm]
> muss ja für alle [mm]x \in \IR[/mm] gelten. Insbesondere kannst Du
> nun in [mm](\star)[/mm] drei spezielle Werte für [mm]x\,[/mm] - nennen wir
> sie mal [mm]x_1,\; x_2,\;x_3[/mm] - einsetzen, so dass Du damit drei
> Gleichungen in den Variablen [mm]r,s,t\,[/mm] erhälst; wobei Du hier
> [mm]x_1,\;x_2,\;x_3[/mm] so wählen kannst, dass das entstehende
> Gleichungssystem ein eindeutiges Lösungstripel [mm](r,s,t) \in \IR^3[/mm]
> hat.
>
> Probiere es mal mit [mm]x_1=-1,\;x_2=0[/mm] und [mm]x_3=1\,.[/mm]
Ok,vielen Dank.Ich hab diese Werte mal eingesetzt und hab dann folgendes LGS:
1.) [mm] a_{2}-a_{1}+a_{0}=-2r+5s+3t
[/mm]
2.) [mm] a_{0}=-r+5s
[/mm]
3.) [mm] a_{2}+a_{1}+a_{0}=5s+3t
[/mm]
Dann hab ich nach r,s und t aufgelöst:
[mm] r=a_{1}, s=\bruch{a_{0}+a_{1}}{5}, t=\bruch{a_{2}}{3}.
[/mm]
Jetzt hab ich spezielle Werte für r,s und t raus,aber was mach ich mit denen?Damit hab ich noch nicht gezeigt,dass f,g und h ein Erzeugenesystem des Vektorraums der Polynome höchstens 2.Grades ist oder?
lg
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> [mm]r=a_{1}, s=\bruch{a_{0}+a_{1}}{5}, t=\bruch{a_{2}}{3}.[/mm]
>
> Jetzt hab ich spezielle Werte für r,s und t raus,aber was
> mach ich mit denen?Damit hab ich noch nicht gezeigt,dass
> f,g und h ein Erzeugenesystem des Vektorraums der Polynome
> höchstens 2.Grades ist oder?
Hallo,
doch, das hast Du.
Du kannst nun folgendes vorrechen:
wenn ein beliebiges Polynom [mm] p=a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm] hast und die r,s,t wählst wie berechnet, dann ist tatsächlich p=rf+sg+th.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > [mm]r=a_{1}, s=\bruch{a_{0}+a_{1}}{5}, t=\bruch{a_{2}}{3}.[/mm]
> >
>
> > Jetzt hab ich spezielle Werte für r,s und t raus,aber was
> > mach ich mit denen?Damit hab ich noch nicht gezeigt,dass
> > f,g und h ein Erzeugenesystem des Vektorraums der Polynome
> > höchstens 2.Grades ist oder?
>
> Hallo,
>
> doch, das hast Du.
>
> Du kannst nun folgendes vorrechen:
>
> wenn ein beliebiges Polynom [mm]p=a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] hast und die
> r,s,t wählst wie berechnet, dann ist tatsächlich
> p=rf+sg+th.
>
Ok,sagen wir mal ich wähle r=1, s=-1 und t=2.Damit berchne ich die [mm] a_{i} [/mm] und habe [mm] a_{0}=-6, a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=6.Das [/mm] heißt mein Polynom sieht so aus: [mm] p=6x^{2}+x-6 [/mm] und wenn ich das jetzt noch in p=r*f+s*g+t*h einsetze habe ich auch [mm] p=6x^{2}+x-6.
[/mm]
So wäre das jetzt korrekt oder?
lg
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> >
> > > [mm]r=a_{1}, s=\bruch{a_{0}+a_{1}}{5}, t=\bruch{a_{2}}{3}.[/mm]
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> > >
> >
> > > Jetzt hab ich spezielle Werte für r,s und t raus,aber was
> > > mach ich mit denen?Damit hab ich noch nicht gezeigt,dass
> > > f,g und h ein Erzeugenesystem des Vektorraums der Polynome
> > > höchstens 2.Grades ist oder?
> >
> > Hallo,
> >
> > doch, das hast Du.
> >
> > Du kannst nun folgendes vorrechen:
> >
> > wenn ein beliebiges Polynom [mm]p=a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] hast und die
> > r,s,t wählst wie berechnet, dann ist tatsächlich
> > p=rf+sg+th.
> >
>
> Ok,sagen wir mal ich wähle r=1, s=-1 und t=2.Damit berchne
> ich die [mm]a_{i}[/mm] und habe [mm]a_{0}=-6, a_{1}=1[/mm] und [mm]a_{2}=6.Das[/mm]
> heißt mein Polynom sieht so aus: [mm]p=6x^{2}+x-6[/mm] und wenn ich
> das jetzt noch in p=r*f+s*g+t*h einsetze habe ich auch
> [mm]p=6x^{2}+x-6.[/mm]
> So wäre das jetzt korrekt oder?
Hallo,
nein. Du hättest jetzt ja lediglich gezeigt, daß Du ein einziges läppisches Polynom mit f,g,h erzeugen kannst.
Zeigen sollst Du, daß das für jedes beliebige Polynom [mm] a_2x^2+a_1x_1+a_0 [/mm] funktioniert.
Die passenden r,s,t hast Du zuvor geheim berechnet, und jetzt verblüffst Du dein Publikum damit daß Du vorrechnest, wie Du für eliebige Koeffizienten [mm] a_1 [/mm] das Polynom [mm] a_2x^2+a_1x_1+a_0 [/mm] mit f,g,h erzeugst.
Du rechnest vor: [mm] a_1*f [/mm] + [mm] \bruch{a_{0}+a_{1}}{5}g [/mm] + [mm] t=\bruch{a_{2}}{3}*h [/mm] = ... (hier kommt [mm] a_2x^2+a_1x_1+a_0 [/mm] heraus, wenn alles gut gelaufen ist.).
Du hast genau dies oben für ein konkretes Polynom getan, zu "Erzeugendensystem" gehört aber, daß Du jedes Polynom erzeugen kannst.
Gruß v. Angela
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> Jetzt müsste ich ja zeigen,dass sich jede Funktion
> höchstens 2.Grades als Linearkombination der Funktionen f,g
> und h darstellen lässt,also so:
>
> [mm]a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*(x-1)+s*5+t*3x^{2}[/mm]
>
> [mm]a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*x-r+5*s+t*3x^{2}[/mm]
>
> So und weiter weiß ich irgendwie nicht.Muss ich dann nach
> r,s und t auflösen oder wie???
Hallo,
ja, genau, das Ziel ist es, daß Du r,s,t in Abhängigkeit von den [mm] a_i [/mm] findest.
Habt ihr gehabt, daß Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten gleich sind?
Dann kannst Du hier auch so vorgehen:
> [mm]a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=r*x-r+5*s+t*3x^{2}[/mm]
= [mm]a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}=t*3x^{2}+r*x-r+5*s[/mm]
==>
[mm] 3t=a_2
[/mm]
[mm] r=a_1
[/mm]
[mm] 5s-r=a_3,
[/mm]
und jetzt nach r,s,t auflösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.
Eine Frage hab ich noch,für den Vektorraum schreib ich ja:
[mm] V=\{f|f(x)=a_{2}\cdot{}x^{2}+a_{1}\cdot{}x+a_{0}\}
[/mm]
Diese Darstellung hatte ich einfach übenommen,weil die so im Buch stand.Nur frag ich mich was dieses f vor dem f(x) bedeutet?Wofür steht es?
Weiß das vielleicht jemand?
lg
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Hiho,
x|A(x) in Mengenklammern liest sich "alle x mit der Eigenschaft A(x)".
in deinem Fall liest sich das also:
[mm]V=\{f|f(x)=a_{2}\cdot{}x^{2}+a_{1}\cdot{}x+a_{0}\}[/mm]
V ist die Menge aller f für die gilt f(x) = .....
MfG,
Gono.
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