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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
Ich habe nochmal eine Frage zu Vektorräumen.
Also wenn V ein Vektorraum ist, dann gelten ja die beiden Abbildungen [mm] $\oplus: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit $(a,b) [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \oplus [/mm] b$ und [mm] $\odot: [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit $(k,v) [mm] \mapsto [/mm] k [mm] \odot [/mm] v$ und noch die Axiome.
Dabei ist ja [mm] \oplus [/mm] die Addition in V und [mm] \odot [/mm] die Skalarmultiplikation in V.
Wenn ich jetzt sage, V ist ein K-Vektorraum, bezieht sich das K auf die Menge, aus dem der Skalar k kommt, mit dem in der zweiten Abbildung multipliziert wird?
Ich mach mal ein Beispiel:
Sei [mm] V=\IR. [/mm] Dann lauten die Abbildungen ja [mm] $\oplus: \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] mit $(a,b) [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \oplus [/mm] b$ und [mm] $\odot: [/mm] K [mm] \times \IR \to \IR$ [/mm] mit $(k,v) [mm] \mapsto [/mm] k [mm] \odot [/mm] v$.
Erstmal eine Frage, die nix mit dem K zu tun hat:
Jetzt ist [mm] \oplus [/mm] wieder die Addition in V, aber da [mm] V=\IR [/mm] ist es also die Addition in [mm] \IR, [/mm] also ganz normales Rechnen quasi, oder? Und das gleiche dann für die Multiplikation? Kann man das so sagen?
So, jetzt zu diesem K. Solange ich nicht sage, was K ist, ist [mm] V=\IR [/mm] dann immer noch ein Vektorraum über K? Und kann ich für K jetzt alle Mengen einsetzen, deren Elemente ich mit Elementen aus [mm] \IR [/mm] multiplizieren kann, und wo das Ergebnis dann wieder in [mm] \IR [/mm] ist?
Also kann [mm] \IR [/mm] dann ein Vektorraum über [mm] \IN [/mm] sein, oder ein Vektorraum über [mm] \IZ [/mm] oder auch über [mm] \IQ [/mm] ?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 02.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also wenn V ein Vektorraum ist, dann gelten ja die beiden
> Abbildungen [mm]\oplus: V \times V \to V[/mm] mit [mm](a,b) \mapsto a \oplus b[/mm]
> und [mm]\odot: K \times V \to V[/mm] mit [mm](k,v) \mapsto k \odot v[/mm] und
> noch die Axiome.
>
> Dabei ist ja [mm]\oplus[/mm] die Addition in V und [mm]\odot[/mm] die
> Skalarmultiplikation in V.
>
> Wenn ich jetzt sage, V ist ein K-Vektorraum, bezieht sich
> das K auf die Menge, aus dem der Skalar k kommt, mit dem in
> der zweiten Abbildung multipliziert wird?
Exakt. K kann ein völlig beliebiger Körper sein. Zum Beispiel ist [mm] $\IR$ [/mm] mit den üblichen Operationen ein Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] oder auch über [mm] $\IQ$, [/mm] jedoch nicht über [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$, [/mm] denn das sind keine Körper! Jeder Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst. [mm] $\IC$ [/mm] ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] und ein unendlich-dimensionaler Vektorraum über [mm] $\IQ$.
[/mm]
Das war jetzt ne Menge Holz, aber wenn du ein bischen drüber nachdenkst wird es dir klarer werden. Und stell einfach weiter Fragen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Robert!
> Jeder
> Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich
> selbst. [mm]\IC[/mm] ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
> und ein unendlich-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IQ[/mm].
Ähm, das verstehe ich nicht so ganz, was bedeutet das?
Was heißt, dass jeder Körper ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst ist?
Meinst du so Sachen wie [mm] \IR [/mm] ist ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] oder auch [mm] \IC [/mm] ist ein [mm] \IR-Vektorraum? [/mm]
Also immer, wenn der Körper, über den der Vektorraum geht (also das K im K-Vektorraum = Vektorraum über K) eindimensional ist?
Aber warum ist [mm] \IC [/mm] ein unendlich-dimensionaler Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ?
Du meinst hier also [mm] \IC [/mm] ist ein " [mm] \IQ^\infty [/mm] " Vektorraum?
Das verstehe ich nicht.
LG Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo Robert!
>
>
>
> > Jeder
> > Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich
> > selbst. [mm]\IC[/mm] ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
> > und ein unendlich-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IQ[/mm].
>
> Ähm, das verstehe ich nicht so ganz, was bedeutet das?
Nun, das bedeutet, dass eine Basis nicht aus endlich vielen Elementen besteht.
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]") Danke an Robert für's Aufpassen!
>
> Was heißt, dass jeder Körper ein eindimensionaler
> Vektorraum über sich selbst ist?
> Meinst du so Sachen wie [mm]\IR[/mm] ist ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") oder
> auch [mm]\IC[/mm] ist ein [mm]\IR-Vektorraum?[/mm]
Nein [mm] $\IC$ [/mm] ist als [mm] $\IR$-VR [/mm] 2-dimensional, gib mal eine Basis an!
Aber [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IC$-VR [/mm] ist eindimensional
> Also immer, wenn der Körper, über den der Vektorraum geht
> (also das K im K-Vektorraum = Vektorraum über K)
> eindimensional ist?
Jo! Gib mal eine Basis für [mm] $\IK$ [/mm] als [mm] $\IK$-VR [/mm] an!
>
> Aber warum ist [mm]\IC[/mm] ein unendlich-dimensionaler Vektorraum
> über [mm]\IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Nun es ist schon $\IR$ als $\IQ$-VR unendlichdimensional, einen Beweis solltest du in einem LA-Buch finden, bzw. ihr solltet ihn in der VL skizziert haben ...
Der Beweis geht über einen Widerspruch.
Man nimmt an, $\IC$ habe über $\IQ$ eine endliche Dimension, etwa $k\in\IN$
Dann sei $\mathbb{B}=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ eine Basis.
Damit lässt sich jedes $z\in\IC$ darstellen als LK der Basisvektoren $z=\lambda_1\cdot{}a_1+\lambda_2\cdot{}a_2+....+\lambda_k\cdot{}a_k}$, wobei die $\lambda_i\in\IQ$ sind.
Da $\IQ$ abzählbar ist, lassen sich aber nur abzählbar viele Elemente linear kombinieren, damit wäre also $\IC$ abzählbar
Und das stimmt ja nicht, also Widerspruch und $\IC$ ist über $\IQ$ unendlichdimensional
> Du meinst hier also [mm]\IC[/mm] ist ein " [mm]\IQ^\infty[/mm] "
> Vektorraum?
> Das verstehe ich nicht.
>
>
>
> LG Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 05.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> > >[mm]\IC[/mm] ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
> > > und ein unendlich-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IQ[/mm].
> >
> > Ähm, das verstehe ich nicht so ganz, was bedeutet das?
>
> Nun, das bedeutet, dass eine Basis überabzählbar viele
> Elemente hat.
Nein, das bedeutet dass es keine endliche Basis gibt. Eine Basis kann aber auch abzählbar sein.
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
danke für den Hinweis, das wollte ich eigenlich auch so sagen ...
Knoten zwischen Hirn und Fingern 
Ich editiere es mal schnell , vllt. merkt's außer dir keiner
LG
schachuzipus
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