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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AriR |
Hey leute,
die vektorraumaxiome bzgl der Skalarenmultiplikation bzw die skalare multiplikation allgemein setzen voraus, dass körperelemente nur von links an vektoren multipliziert werden.
was ist denn wenn körper elemente [mm] \alpha\in [/mm] K von links an [mm] v\in [/mm] V, wobei V ein K-VR, multipliziert werden? ist sowas wie [mm] v*\alpha [/mm] gar nicht definiert und muss für jeden konkreten VR speziell so definiert werden (so dass [mm] \alpha*v=v*\alpha [/mm] damit die definition sinn macht) ?
danke schonmal im voraus :)
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo besteht ein anlass Vektoren von rechts mit skalaren zu multiplizieren.
Ich denke nicht, dass irgendwas passeiert, wenn du [mm] \alpha*v=v*\alpha [/mm] definierst. aber dann schreibst du etwas nur unueblich und verwirrst Leute.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AriR |
nein aber wenn ich irgendwie mal irgendwo was stehen gehabt hätte wie zb:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}*5 [/mm] hätte ich das direkt zu [mm] \vektor{5 \\ 10 \\ 15} [/mm] vereinfacht ohne wirklich zu wissen, dass der ausdruck gar nicht definiert ist.
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Hallo,
> nein aber wenn ich irgendwie mal irgendwo was stehen gehabt
> hätte wie zb:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}*5[/mm] hätte ich das direkt zu [mm]\vektor{5 \\ 10 \\ 15}[/mm]
> vereinfacht ohne wirklich zu wissen, dass der ausdruck gar
> nicht definiert ist.
Wieso sollte das nicht definiert sein?
Du führst schließlich weder eine Skalarmultiplikation noch eine Multiplikation von 2 Matrizen durch, sondern multiplizierst lediglich eine Matrix mit einem Skalar (=Körperelement)
[mm] $2\cdot{}\pmat{1&1\\1&1}=\pmat{2&2\\2&2}$ [/mm] ist ja auch definiert ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AriR |
ja, aber ich muss, wenn ich einen VR betrachte ( auch den [mm] \IR-VR \IR^n), [/mm] die elemente des vektorraums zunächst als vektoren (also elemente eines Vektorraums) und nicht als matritzen auffassen oder nicht?
und dort ist die skalaremultiplikation [mm] *:K\times V\to [/mm] V oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Irgendwie habe ich das Gefühl, als wäre das eine Diskussion um eine rein schreibtechnische Formalität... Es ist doch egal, ob man das skalar links, rechts, oben, unten, oder mit einem stift anderer farbe direkt an dieselbe Stelle schreibt, wo der Vektor schon steht. Solange man's lesen kann, und weiß was gemeint ist, ist doch alles in Ordnung. Oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AriR |
ich würde mal sagen gerade in der mathematik ist es das nicht oder? :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Mit
"solange man weiß was gemeint ist"
meine ich selbstverständlich
"solange alles was man hinschreibt bombensicher definiert ist"
Wenn man sich die skalar-vektormultiplikation nur für argumente [mm] \alpha [/mm] v in genau dieser reihenfolge definiert hat: ok. Dann soll man auch nur damit formal rumrechnen. Dann kommt man auch niemals in situation, dass irgendwo [mm] v\alpha [/mm] steht, dann muss man sich auch keine gedanken um sowas machen. Solange man sich im klaren ist, dass [mm] v\alpha [/mm] eine genauso sinnvolle notation für dieselbe sache ist, kann man auch gerne [mm] v\alpha [/mm] hinschreiben, das dürfte eigentlich auch niemanden stören, obwohl es unnötig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 03.08.2009 | | Autor: | AriR |
wenn man definiert [mm] *:K\times V\to [/mm] V mit [mm] (\lambda,v)\mapsto\lambda*v [/mm] dann ist es doch nur für körperelement*vektor definiert oder? so ist zumindest fast überalle die skalare multiplikation in VRen definiert, soweit ich weiß
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Hallo
> wenn man definiert [mm]*:K\times V\to[/mm] V mit
> [mm](\lambda,v)\mapsto\lambda*v[/mm] dann ist es doch nur für
> körperelement*vektor definiert oder? so ist zumindest fast
> überalle die skalare multiplikation in VRen definiert,
> soweit ich weiß
Dann schreib du das in Zukunft nur noch so, das machen auch alle. Doch solltest du irgendwann auf einen Ausdruck [mm] v\alpha [/mm] stossen, so rufe dir diese Diskussion ins Gedächnis ;)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 03.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> die vektorraumaxiome bzgl der Skalarenmultiplikation bzw
> die skalare multiplikation allgemein setzen voraus, dass
> körperelemente nur von links an vektoren multipliziert
> werden.
Ja.
> was ist denn wenn körper elemente [mm]\alpha\in[/mm] K von rechts an
> [mm]v\in[/mm] V, wobei V ein K-VR, multipliziert werden? ist sowas
> wie [mm]v*\alpha[/mm] gar nicht definiert und muss für jeden
> konkreten VR speziell so definiert werden (so dass
> [mm]\alpha*v=v*\alpha[/mm] damit die definition sinn macht) ?
Das ist so erstmal nicht definiert. Und es hat auch einen guten Grund, das man es nicht einfach z.B. per $v [mm] \alpha [/mm] := [mm] \alpha [/mm] v$ definiert: dann koennte man $V$ nicht mehr einfach zu einem ![[]](/images/popup.gif) Bimodul machen, ohne sich eine neue Schreibweise dafuer zu ueberlegen. Und gerade wenn man Vektorraeumen ueber Koerpern einfach als Spezialfall von Linksmoduln ueber (nicht notwendigerweise kommutativen) unitaeren Ringen auffasst, waer das ziemlich komisch.
(Auch wenn man bei kommutativen Ringen $R$ Linksmoduln gern gleich als $R$-$R$-Bimoduln auffasst.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Di 04.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> (Auch wenn man bei kommutativen Ringen [mm]R[/mm] Linksmoduln gern
> gleich als [mm]R[/mm]-[mm]R[/mm]-Bimoduln auffasst.)
>
Darf ich mal rasch fragen... Ist das Kriterium für Kommutativität nicht, dass die Multiplikation zweier Körperelemente vertauscht werden kann? Also für a,b [mm] \in [/mm] R (R Ring) wäre dann a*b = b*a [mm] \to [/mm] R kommutativ.
Die Kommutativität ist dann vorhanden. Spielt es nun eine Rolle, ob der Vektor links, rechts oder zwischen diesen 2 Körperelementen steht in der Multiplikation? Ich dachte eben nicht..
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Di 04.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro,
> > (Auch wenn man bei kommutativen Ringen [mm]R[/mm] Linksmoduln gern
> > gleich als [mm]R[/mm]-[mm]R[/mm]-Bimoduln auffasst.)
>
> Darf ich mal rasch fragen... Ist das Kriterium für
> Kommutativität nicht, dass die Multiplikation zweier
> Körperelemente vertauscht werden kann? Also für a,b [mm]\in[/mm] R
> (R Ring) wäre dann a*b = b*a [mm]\to[/mm] R kommutativ.
Genau.
> Die Kommutativität ist dann vorhanden. Spielt es nun eine
> Rolle, ob der Vektor links, rechts oder zwischen diesen 2
> Körperelementen steht in der Multiplikation? Ich dachte
> eben nicht..
Nun, normalerweise betrachtet man Linksvektorraeume, sprich der Vektor steht rechts und der Skalar links. Und wenn man Lust hat kann man das auch so definieren, dass der Skalar rechts stehen darf. Muss man aber nicht, bzw. ist manchmal hinderlich wenn man noch eine andere Aktion haben moechte; man koennte z.B. einen Automorphismus [mm] $\phi$ [/mm] vom Koerper haben und definieren $v [mm] \lambda [/mm] := [mm] \phi(\lambda) [/mm] v$. Dann hat man den Vektorraum auf eine nicht-triviale Art und Weise zu einem $K$-$K$-Bimodul gemacht, und je nach Skalar [mm] $\lambda$ [/mm] und je nach Automorphismus [mm] $\phi$ [/mm] bedeuten [mm] $\lambda [/mm] v$ und $v [mm] \lambda$ [/mm] etwas verschiedenes.
LG Felix
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