Vektorraum, Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also es sei V ein Vektorraum über K und U1, U2 zwei Untervektorräume von V.
Dann gilt:
1. U1 [mm] \cap [/mm] U2 ist ein Untervektorraum von V.
2. U1 [mm] \cup [/mm] U2 ist im allgemeinen kein Untervektorraum von V.
3. Gilt U1 [mm] \cup [/mm] U2=V, dann ist U1=V oder U2=V.
Geben Sie jeweils Beispiele an.
Mein Ansatz:
1. Die Aussage ist richtig, nach folgender Definition:
Sei V ein K-Vektorraum und Ui (i [mm] \in [/mm] I) Untervektorräume von V, so ist ihr Durchschnitt wieder ein Untervekttorraum.
Bsp: V= K^2x1 U1= ( [mm] \vektor{0 \\ x} [/mm] | x [mm] \in [/mm] K)
U2= ( [mm] \vektor{x \\ 0} [/mm] | x [mm] \in [/mm] K)
--> u1 [mm] \cap [/mm] u2= [mm] (\vektor{0 \\ x} [/mm] ^ [mm] \vektor{x \\ 0} \in [/mm] u1 ^ u2 )
2. Die Aussage ist richtig, da nach unserem Beispiel gelten würde:
[mm] \vektor{1\\ 1} \not\in [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2, obwohl [mm] \vektor{0\\ 1} \in [/mm] U1 ^ [mm] \vektor{1\\ 0} \in [/mm] U2
3. Wenn U1 [mm] \cup [/mm] U2 kein Untervektorraum von V ist, dann können sie doch auch nicht gleich dem Vektorraum sein, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also es sei V ein Vektorraum über K und U1, U2 zwei
> Untervektorräume von V.
> Dann gilt:
>
> 1. U1 [mm]\cap[/mm] U2 ist ein Untervektorraum von V.
>
> 2. U1 [mm]\cup[/mm] U2 ist im allgemeinen kein Untervektorraum von
> V.
>
> 3. Gilt U1 [mm]\cup[/mm] U2=V, dann ist U1=V oder U2=V.
>
> Geben Sie jeweils Beispiele an.
>
> Mein Ansatz:
>
> 1. Die Aussage ist richtig, nach folgender Definition:
>
> Sei V ein K-Vektorraum und Ui (i [mm]\in[/mm] I) Untervektorräume
> von V, so ist ihr Durchschnitt wieder ein
> Untervekttorraum.
>
> Bsp: V= K^2x1 U1= ( [mm]\vektor{0 \\ x}[/mm] | x [mm]\in[/mm] K)
> U2= ( [mm]\vektor{x \\ 0}[/mm] | x [mm]\in[/mm]
> K)
>
> --> u1 [mm]\cap[/mm] u2= [mm](\vektor{0 \\ x}[/mm] ^ [mm]\vektor{x \\ 0} \in[/mm] u1
> ^ u2 )
>
> 2. Die Aussage ist richtig, da nach unserem Beispiel gelten
> würde:
>
> [mm]\vektor{1\\ 1} \not\in[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2, obwohl [mm]\vektor{0\\ 1} \in[/mm]
> U1 ^ [mm]\vektor{1\\ 0} \in[/mm] U2
>
> 3. Wenn U1 [mm]\cup[/mm] U2 kein Untervektorraum von V ist, dann
> können sie doch auch nicht gleich dem Vektorraum sein,
> oder ?
bei 1.) ist Deine Begründung keine Definition, sondern das läßt sich beweisen: Beliebige Schnitte von Unterräumen sind Unterräume, also erst recht der Schnitt von zwei Unterräumen.
zu 3.)
Wo steht denn dort, dass [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] kein Unterraum von $V$ ist? Die Aussage in 2.) ist nur, dass man nicht stets sagen kann, dass [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum ist. Das heißt aber nicht, dass es solche Fälle nicht gibt. (Das ist der Grund, warum man bei der Formulierung oben "im allgemeinen" hingeschrieben hat! )
Es gibt sie: Etwa wenn [mm] $U_1$ [/mm] Unterraum ist, der selbst [mm] $U_2$ [/mm] als Unterraum enthält (insbesondere bei Gleichheit von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$).
[/mm]
Bei 3.) wird nun vorausgesetzt: Es sind [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] beides Unterräume, so dass deren Vereinigung gerade [mm] $V\,$ [/mm] ergibt.
Wenn Du etwa zwei nicht parallele Ursprungsgeraden des [mm] $\IR^2$ [/mm] hast, so erfüllen diese schonmal diese Voraussetzung NICHT!
Ansonsten sieht's eigentlich erstmal gar nicht so schlecht aus...
Aber benutze bitte Mengenklammern [mm] $\{\}\,,$ [/mm] wenn angebracht... und Deine Notation (etwa bei dem Schnitt von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$) [/mm] verstehe ich nicht immer:
Vernünftig wäre etwa
[mm] $$U_1 \cap U_2:\left\{x:\; x \in U_1 \wedge x \in U_2\right\}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Es gibt sie: Etwa wenn $ [mm] U_1 [/mm] $ Unterraum ist, der selbst $ [mm] U_2 [/mm] $ als Unterraum enthält (insbesondere bei Gleichheit von $ [mm] U_1 [/mm] $ und $ [mm] U_2 [/mm] $).
Hättest du da ein Beispiel für mich ?
Und 3. habe ich noch nicht wirklich verstanden.. könnte man das mit meinem beispiel zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gibt sie: Etwa wenn [mm]U_1[/mm] Unterraum ist, der selbst [mm]U_2[/mm]
> als Unterraum enthält (insbesondere bei Gleichheit von [mm]U_1[/mm]
> und [mm]U_2 [/mm]).
>
> Hättest du da ein Beispiel für mich ?
also nochmal zu 2.):
Du hast selbst ein Beispiel gegeben, so dass [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] Unterräume, aber [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] kein Unterraum ist. Deswegen kann man sagen (ich erspare mir das Zitieren der genauen Voraussetzungen, es steht ja in der Aufgabe):
Im allgemeinen ist [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] kein Unterraum. Dies heißt nur:
Wenn [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] Unterräume sind, dann weiß man, wenn man nur diese Kenntnis hat, nicht, dass [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum ist. (Anders gesagt: [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] kann zwar, muss aber kein Unterraum sein.)
Dass diese Vereinigung in gewissen Fällen doch einen Unterraum ergibt, zeigt folgende Überlegung:
Sei etwa: [mm] $U_1$ [/mm] ein Unterraum, der selbst den Unterraum [mm] $U_2$ [/mm] enthält. Dann ist ja [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] gerade [mm] $=U_1\,,$ [/mm] also ein Unterraum.
Beispiele:
a)
[mm] $U_1$: [/mm] Eine Ursprungsgerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] (oder [mm] $\IR^3$ [/mm] oder [mm] $\IR^4$ [/mm] oder ...), und
[mm] $U_2$: [/mm] der vom Nullvektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] (bzw. des [mm] $\IR^3$ [/mm] bzw. des [mm] $\IR^4$ [/mm] bzw. des ...) aufgespannte Unterraum.
b) Nimm eine Ebene des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] die durch den Ursprung geht, als [mm] $U_1$ [/mm] und dann eine Ursprungs-Gerade dieser Ebene als [mm] $U_2\,.$
[/mm]
.
.
.
> Und 3. habe ich noch nicht wirklich verstanden.. könnte
> man das mit meinem beispiel zeigen?
Nein. Wenn die Aussage falsch ist, dann kann man sie höchstens mit einem Beispiel widerlegen. Behauptet wird dort:
Wenn man die Unterräume [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] hat, die so sind, dass deren Vereinigung schon der ganze Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] ergibt, dann muss (mindestens) einer der Unterräume selbst schon ganz [mm] $V\,$ [/mm] gewesen sein.
Um das zu beweisen bräuchtest Du, soweit ich das sehe, allerdings ein Hilfsmittel (vielleicht geht es auch mit anderen: Dimensionsformel, Basisergänzungssatz oder Austauschsatz von Steinitz oder oder oder... musste halt evtl. mal rumprobieren):
Du musst Dir klarmachen, dass, wenn [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] Unterräume des [mm] $K\,$-VR $V\,$ [/mm] sind, gilt:
Genau dann ist [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $V\,,$ [/mm] wenn [mm] $U_1$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $U_2$ [/mm] ist, oder wenn [mm] $U_2$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $U_1$ [/mm] ist.
(Salopp: Genau dann ist die Vereinigung zweier Unterräume selbst einer, wenn einer den anderen enthält.)
Mit diesem Wissen ist 3.) leicht zu beweisen!
Gruß,
Marcel
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