Vektorraum bestimmung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 12.02.2005 | | Autor: | cherio_2 |
Hi alle zusammen,
ich habe ein riesen problem und es wär toll,wenn mir jemand helfen könnte!
In meinem Mathe Lk hatten wir leider keine Lineare Algebra und daher hake ich aktuell gerade schon bei den "einfachsten" themen mal ganz abgesehen von dem was wir in der uni machen.
also mich beschäftigt folgende frage :
1.warum ist die Teilmenge [mm] M=\vektor{1\\0\\t} [/mm] ,mit [mm] t\in\IR [/mm] bezüglich der im [mm] \IR³ [/mm] definierten addition und verfielfachung kein vektorraum ?
2.und warum bildet [mm] M=\vektor{t\\2t\\3t} [/mm] wiederum einen vekotorraum ?
Also ich habe verstanden,daß V,dann ein Vektorraum bildet,wenn a [mm] \in [/mm] V und [mm] b\in V,a+b\in [/mm] V ist,sowie [mm] r*a\in [/mm] V,mit [mm] r\in\IR.
[/mm]
aber wie wende ich das praktisch an? Nehme ich linearkombinationen von den vektoren und addiere sie einfach? aber dann würde beispiel 1 bei mir einen vektorraum bilden.....
es ist zum verrückt werden,ich kann mir das im moment alles gerad gar nicht vorstellen!Wozu sind diese Vektorräume überhaupt da ? um arme kleine studenten zu verwirren :) ??
Wäre euch für eure Hilfe super dankbar!!!!!
MFG
Nadine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi,
ich sehe das so:
Der Nullvektor müsste ja im Vektorraum enthalten sein (also (0,0,0)), ist es aber nicht
dh. 1) ist (1,0,t) kein Vektorraum
und 2) (t,2t,3t) schon ein Vektorraum
mfg,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 12.02.2005 | | Autor: | cherio_2 |
hi martin,
danke für die schnelle antwort!
Wie kann ich das rechnerisch zeigen,...hier im buch steht,daß die Summe zweier vektoren nicht zu M gehört (bezogen auf meine erste aufgabe) und das r-fache eines vektors aus M nur für r=1 zu M gehört ..
( [mm] M=\vektor{1\\0\\t} [/mm] )
und muß der nullvektor grundsätzlich drin liegen ? was wäre bei einer ebene die nicht durch den nullpunkt geht ?
gibts irgendwo im netzt ne gute zeichnung,damit ich mir einen vektorraum mal vorstellen kann ?
lg
Nadine > Hi,
>
> ich sehe das so:
> Der Nullvektor müsste ja im Vektorraum enthalten sein
> (also (0,0,0)), ist es aber nicht
>
> dh. 1) ist (1,0,t) kein Vektorraum
> und 2) (t,2t,3t) schon ein Vektorraum
>
> mfg,
> Martin
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Naja,
eine kleine Übersicht gibt es immer auf www.wikipedia.de (auch für andere sachen immer sehr zu empfehlen:
als http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Sa 12.02.2005 | | Autor: | sachmeth |
hallöchen
Ein Vektorraum(VR) ist z.B. der R³. Jeder VR wird von Vektoren aufgespannt (sie heißen Basis), diese müssen linear unabhängig sein. Die Standartbasis des R³ ist (0,0,1),(0,1,0),(0,0,1). Außerdem enthält jeder VR den Nullvektor (d.h. er ist somit ungleich der leeren Menge). Du musst also überprüfen ob der Nullvektor in der Menge enthalten ist (ist er aber bei Menge eins nicht), und ob 3 beliebige Vektoren der Mengen immer linear unabhängig sind. Sind sie dass, so spannen sie stets einen VR (oder besser gesagt Untervektorraum, ein Untervektorraum kann sein eine Gerade, Ebene,..)auf.
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> hallöchen
>
> Ein Vektorraum(VR) ist z.B. der R³. Jeder VR wird von
> Vektoren aufgespannt (sie heißen Basis), diese müssen
> linear unabhängig sein. Die Standartbasis des R³ ist
> (0,0,1),(0,1,0),(0,0,1). Außerdem enthält jeder VR den
Die sTandardbasis ist übrigens falsch.
Richtig lautet sie: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), und wird auch als kanonische Basis bezeichnet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mo 14.02.2005 | | Autor: | cherio_2 |
Vielen Dank !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 So 13.02.2005 | | Autor: | taura |
Hi Nadine!
Also, es gibt viele Möglichkeiten nachzuweisen, dass deine Teilmenge M unter 1. kein Vektorraum ist.
Die erste Möglichkeit wurde schon vorgeschlagen: Das Null-Element, also der Nullvektor, liegt nicht in der Menge, was aber bei Vektorräumen immer der Fall sein muss.
Die zweite Möglichkeit ist, zu zeigen, dass die Abgeschlossenheit bezüglich der Additivität nicht gilt, d.h. es gibt zwei Vektoren aus M, deren Summe nicht in M liegt (Für Vektorräume muss immer gelten: Für alle Vektoren aus V gilt immer, dass deren Summe auch in V liegt).
Gegenbeispiel für deinen Fall:
[mm]u=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] und [mm]v=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
liegen beide in M (t=2 und t=3), aber [mm]v+w=\vektor{2 \\ 0 \\ 5}[/mm] liegt nicht in M.
Die dritte Möglichkeit wär zu zeigen, dass die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar nicht gilt, d.h. es gibt einen Vektor v aus M und einen Skalar a aus [mm]\IR[/mm], so dass [mm]a*v[/mm] nicht in M liegt:
Beispiel: [mm]v= \vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] und [mm]a=3[/mm], v ist in M und a in [mm]\IR[/mm] aber [mm]a*v=\vektor{3 \\ 0 \\ 6}[/mm] ist nicht in M.
Zu deiner zweiten Frage:
Hattet ihr vielleicht in der Vorlesung einen Satz darüber, dass der lineare Spann eines Vektors (und auch mehrerer Vektoren) immer ein Untervektorraum ist? Dann kannst diesen hier verwenden, denn was du dort stehen hast ist nichts anderes als der lineare Spann des Vektors [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm], denn:
[mm]\{\vektor{1t \\ 2t \\ 3t}|t\in\IR\}=\{t*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}|t\in\IR\}[/mm] und das ist per Definition genau der lineare Spann.
Ich hoffe, das hilft dir weiter, falls nicht, frag einfach nochmal nach!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 So 13.02.2005 | | Autor: | cherio_2 |
hi :)
echt super vielen dank für diese antwort!
aber ich gebe zu.ich muß dir jetzt gerad einwenig blöd erscheinen,aber ich hätte nochmal kurz eine frage ....
bei meinem ersten beispiel hast du über die addition und multiplikation bewiesen,daß es kein vektorraum ist.liegt es daran,daß sich die werte 1 und 0 auch ändern oder ist liegt es an dem t,was zu 5 wird ?
aber 5 ist doch [mm] \in\IR [/mm] und daher definiert ?
und dann beschäftigt mich gerad noch ein weiteres problem :( warum muß eine eben um ein vektorraum zu sein durch den ursprung gehen und was versteh ich unter dem vektorraum einer geraden ?sind das alle werte die auf ihr liegen,d.h. also ihre lösungsmenge ?
und wie kann ein und dieselbe ebene die duch den ursprung geht z.B.: E [mm] =\{\mu u + \lambda v : \mu,\lambda \in\IR \} [/mm] vektorraum sowie unterraum sein.da muß es doch irgendeinen dimensionsunterschied oder soetwas geben?
das mit dem strang habe ich übrigens nicht gewußt,glaube auch nicht,daß mal in der vorlesung gehört zu haben,....aber vielen dank werd versuchen es mir selbst nochmal genauer zu erklären
liebe grüße
nadine
> Hi Nadine!
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> Also, es gibt viele Möglichkeiten nachzuweisen, dass deine
> Teilmenge M unter 1. kein Vektorraum ist.
> Die erste Möglichkeit wurde schon vorgeschlagen: Das
> Null-Element, also der Nullvektor, liegt nicht in der
> Menge, was aber bei Vektorräumen immer der Fall sein
> muss.
> Die zweite Möglichkeit ist, zu zeigen, dass die
> Abgeschlossenheit bezüglich der Additivität nicht gilt,
> d.h. es gibt zwei Vektoren aus M, deren Summe nicht in M
> liegt (Für Vektorräume muss immer gelten: Für alle Vektoren
> aus V gilt immer, dass deren Summe auch in V liegt).
> Gegenbeispiel für deinen Fall:
> [mm]u=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] und [mm]v=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> liegen
> beide in M (t=2 und t=3), aber [mm]v+w=\vektor{2 \\ 0 \\ 5}[/mm]
> liegt nicht in M.
> Die dritte Möglichkeit wär zu zeigen, dass die
> Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einem
> Skalar nicht gilt, d.h. es gibt einen Vektor v aus M und
> einen Skalar a aus [mm]\IR[/mm], so dass [mm]a*v[/mm] nicht in M liegt:
> Beispiel: [mm]v= \vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] und [mm]a=3[/mm], v ist in M und
> a in [mm]\IR[/mm] aber [mm]a*v=\vektor{3 \\ 0 \\ 6}[/mm] ist nicht in M.
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> Zu deiner zweiten Frage:
> Hattet ihr vielleicht in der Vorlesung einen Satz darüber,
> dass der lineare Spann eines Vektors (und auch mehrerer
> Vektoren) immer ein Untervektorraum ist? Dann kannst diesen
> hier verwenden, denn was du dort stehen hast ist nichts
> anderes als der lineare Spann des Vektors [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm],
> denn:
> [mm]\{\vektor{1t \\ 2t \\ 3t}|t\in\IR\}=\{t*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}|t\in\IR\}[/mm]
> und das ist per Definition genau der lineare Spann.
> Ich hoffe, das hilft dir weiter, falls nicht, frag einfach
> nochmal nach!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 So 13.02.2005 | | Autor: | taura |
> hi :)
>
> echt super vielen dank für diese antwort!
>
> aber ich gebe zu.ich muß dir jetzt gerad einwenig blöd
> erscheinen,aber ich hätte nochmal kurz eine frage ....
>
> bei meinem ersten beispiel hast du über die addition und
> multiplikation bewiesen,daß es kein vektorraum ist.liegt es
> daran,daß sich die werte 1 und 0 auch ändern oder ist liegt
> es an dem t,was zu 5 wird ?
> aber 5 ist doch [mm]\in\IR[/mm] und daher definiert ?
Genau so ist es, das Problem sind die oberen Zahlen, denn du kannst kein t finden so dass aus [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ t}[/mm] der Vektor [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 5}[/mm] wird. Also liegt dieser nicht in deiner Menge, da sich ja immer nur das t ändern kann.
>
> und dann beschäftigt mich gerad noch ein weiteres problem
> :( warum muß eine eben um ein vektorraum zu sein durch den
> ursprung gehen und was versteh ich unter dem vektorraum
> einer geraden ?sind das alle werte die auf ihr liegen,d.h.
> also ihre lösungsmenge ?
Eine Eigenschaft bzw. eine Bedingung für einen Vektorraum ist, dass das Nullelement enthalten ist. Das heißt deine Gerade ist wirklich nur dann ein Vektorraum, wenn sie durch die Null enthält, also durch den Ursprung geht. Das andere siehst du genau richtig: der Vektorraum sind in dem Fall alle Werte die auf der Geraden liegen.
> und wie kann ein und dieselbe ebene die duch den ursprung
> geht z.B.: E [mm]=\{\mu u + \lambda v : \mu,\lambda \in\IR \}[/mm]
> vektorraum sowie unterraum sein.da muß es doch irgendeinen
> dimensionsunterschied oder soetwas geben?
Das stimmt nicht ganz... Ein Unterraum ist eine Teilmenge eines "größeren" Vektorraumes, für die die Vektorraum-Eigenschaften gelten, in deinem Fall ist die Ebene also Unterraum des [mm]\IR^3[/mm] (und hat übrigens auch eine andere Dimension: Ebene hat dim=2 und der Raum hat dim=3). Gleichzeitig ist die Ebene aber auch ein eigenständiger Vektorraum, da für ihn ja alle Vektorraum-Eigenschaften gelten.
>
> das mit dem strang habe ich übrigens nicht gewußt,glaube
> auch nicht,daß mal in der vorlesung gehört zu
> haben,....aber vielen dank werd versuchen es mir selbst
> nochmal genauer zu erklären
>
> liebe grüße
>
> nadine
Sind jetzt alle Klarheiten beseitigt? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mo 14.02.2005 | | Autor: | cherio_2 |
hi taura,
vielen vielen dank!
hab mir deine email gerad ausgedruckt und werd mich jetzt nochmal in ruhe an das thema allgemeine vektorräume setzten.
hab nämlich in 2 wochen ne prüfung und muß mir bis dahin irgendwie die lineare algebra einigermaßen verständlich gemacht haben und nur mir dem buch von meinem prof ist das irgendwie gar nicht möglich!
meld mich bei weiteren unklarheiten (und ich könnte jetzt schon darum wetten,daß das gar nicht so lange dauern wird :) )
lg
nadine
p.s. : an alle anderen auch nochmal nen großen dank! ihr seid super !!!!!
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