Vektorraum reelle Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Tresche |
| Aufgabe | Ist [mm] B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1},p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\} [/mm] mit [mm] p_{i}:\IR \to \IR,p_{i}(x):=x^i
[/mm]
a) Erzeugendensystem
b) Basis des [mm] \IR [/mm] -Vektorraumes V aller reellen Polynome? |
Hi, ich hänge gerade an obiger Aufgabe.
Ich habe folgendermaßen angefangen:
a) B ist Erzeugendensystem, wenn jedes v Element aus der Menge aller reellen Polynome ist:
[mm] v=a_{0}p_{0}+a_{2}p_{2}+a_{4}p_{4}+...+a_{2k}p_{2k}+...+b_{1}p_{1}+b_{2}(p_{1}+p_{2})+b_{3}(p_{1}+p_{3})+...+b_{k}(p_{1}+p_{k})+...
[/mm]
[mm] =a_{0}p_{0}+a_{2}p_{2}+a_{4}p_{4}+...+a_{2k}p_{2k}+...+b_{1}p_{1}+b_{2}p_{1}+b_{2}p_{2}+b_{3}p_{1}+b_{3}p_{3}+...+b_{k}p_{1}+b_{k}p_{k}+...
[/mm]
[mm] =a_{0}p_{0}+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{k})p_{1}+(a_{2}+b_{2})p_{2}+b_{3}p_{3}+(a_{4}+b_{4})p_{4}+...+b_{k}p_{k}+...+(a_{2k}+b_{2k})p_{2k}+...
[/mm]
Ist der Ansatz richtig, wenn ja, wie argumentiert man weiter?
Für Aufgabe b) muss man doch dann anschließend beweisen, dass B ein minimales Erzeugendensystem ist bzw eine maximale linear unabhängige Menge ist?
Danke schonmal für die Hilfe!
Gruß
Tresche
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Ist
> [mm]B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1},p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\}[/mm]
> mit [mm]p_{i}:\IR \to \IR,p_{i}(x):=x^i[/mm]
> a) Erzeugendensystem
> b) Basis des [mm]\IR[/mm] -Vektorraumes V aller reellen Polynome?
> Hi, ich hänge gerade an obiger Aufgabe.
> Ich habe folgendermaßen angefangen:
> a) B ist Erzeugendensystem, wenn jedes v Element aus der
> Menge aller reellen Polynome ist:
?? Was ist das für eine Formulierung?
Es ist ein Erzeugendensystem, wenn sich jedes [mm] $v\,$, [/mm] wobei [mm] $v\,$ [/mm] irgendein reelles Polynom ist (also ein Element aus der Menge aller reellen Polynome), sich als (endliche) Linearkombination der obenstehenden Menge darstellen läßt (beachte auch, dass [mm] $B\,$ [/mm] eine Teilmenge der Menge aller reellen Polynome ist). Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Definition Basis, Vektorraum.
> [mm]v=a_{0}p_{0}+a_{2}p_{2}+a_{4}p_{4}+...+a_{2k}p_{2k}+...+b_{1}p_{1}+b_{2}(p_{1}+p_{2})+b_{3}(p_{1}+p_{3})+...+b_{k}(p_{1}+p_{k})+...[/mm]
>
> [mm]=a_{0}p_{0}+a_{2}p_{2}+a_{4}p_{4}+...+a_{2k}p_{2k}+...+b_{1}p_{1}+b_{2}p_{1}+b_{2}p_{2}+b_{3}p_{1}+b_{3}p_{3}+...+b_{k}p_{1}+b_{k}p_{k}+...[/mm]
>
> [mm]=a_{0}p_{0}+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{k})p_{1}+(a_{2}+b_{2})p_{2}+b_{3}p_{3}+(a_{4}+b_{4})p_{4}+...+b_{k}p_{k}+...+(a_{2k}+b_{2k})p_{2k}+...[/mm]
> Ist der Ansatz richtig, wenn ja, wie argumentiert man
> weiter?
Das ist schon schlecht, weil Du ja andeutest, dass Du Polynome als (Funktionen-)Reihen darstellen willst (man könnte mit abbrechenden Reihen argumentieren, weil das ja endliche Summen sind, s.u.).
Zu zeigen wäre:
Editiert mit Korrektur:
Ist [mm] $v\,$ [/mm] ein reelles Polynom, so gibt es [mm] $q_1,\ldots,q_m \in [/mm] B$ und [mm] $\blue{a_1,\ldots,a_m \in \IR}$ [/mm] so, dass
[mm] $$v(x)=\sum_{k=1}^m \blue{a_k}q_k(x)\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
> Für Aufgabe b) muss man doch dann anschließend beweisen,
> dass B ein minimales Erzeugendensystem ist bzw eine
> maximale linear unabhängige Menge ist?
Auch hier solltest Du beachten, dass die Menge aller reellen Polynome ein unendlich-dim. Vektorraum ist (welcher aber eine abzählbare Basis hat).
Wäre [mm] $B\,$ [/mm] eine Basis, so wäre [mm] $B\,$ [/mm] ja eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums aller reellen Polynome.
Es wäre also insbesondere zu zeigen, dass jede endliche Teilmenge von [mm] $B\,$ [/mm] stets linear unabhängig ist.
Letzteres wird Dir aber nicht gelingen, denn wegen [mm] $\underbrace{p_2}_{\in B}=\underbrace{p_1+p_2}_{\in B}-\underbrace{p_1}_{\in B}$ [/mm] ist die Menge [mm] $A:=\{p_1,p_1+p_2,p_2\}$, [/mm] $|A|=3$ eine nicht linear unabhängige Teilmenge von [mm] $B\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Tresche |
Zuerst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Aufgabe b) ist mir mittlerweile klar geworden.
> Zu zeigen wäre:
> Ist [mm]v\,[/mm] ein reelles Polynom, so gibt es [mm]q_1,\ldots,q_m \in B[/mm]
> mit
> [mm]v(x)=\sum_{k=1}^m q_k(x)\;\;\;(x \in \IR)\,.[/mm]
Wie zeigt bzw widerlegt man denn so ein Summe allgemein?
Und müsste es nicht heißen:
[mm]v(x)=\sum_{k=1}^m a_kq_k(x)\;\;\;(x \in \IR)\,.[/mm]
wegen den Koeffizienten?
|
|
|
| |
|
Hiho,
überlege dir zuerst, dass für alle i gilt: [mm] $p_i \in \, [/mm] <B>$
und zeige das dann auch.
Und daraus lässt sich leicht folgern, dass jedes Polynom der Form:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}a_ip_i$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $p_i$'s [/mm] ebenfalls in $<B>$ ist.
zu b) Bist du sicher, dass die Menge die Form:
[mm] $B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1},p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\} [/mm] $
haben soll und nicht eher so aussieht:
[mm] $B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\} [/mm] $
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
> überlege dir zuerst, dass für alle i gilt: [mm]p_i \in \, [/mm]
>
> und zeige das dann auch.
>
> Und daraus lässt sich leicht folgern, dass jedes Polynom
> der Form:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_ip_i[/mm] als Linearkombination von [mm]p_i[/mm]'s
> ebenfalls in [mm][/mm] ist.
>
>
> zu b) Bist du sicher, dass die Menge die Form:
>
> [mm]B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1},p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\}[/mm]
>
> haben soll und nicht eher so aussieht:
>
> [mm]B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\}[/mm]
auch dann wäre [mm] $B\,$ [/mm] nicht l.u., da man dann z.B.
[mm] $$p_4=(p_1+p_4)-(p_1+p_2)+p_2$$
[/mm]
hätte, und daher [mm] $\{p_2, p_1+p_2, p_1+p_4,p_4\}$ [/mm] eine endliche nicht linear unabhängige Teilmenge von [mm] $B\,$ [/mm] wäre.
Es könnte allerdings ein anderer Verschreiber vorliegen, so dass
$$ [mm] B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_1, p_{1}+p_{\blue{3}},p_{1}+p_{\blue{5}},...,p_{1}+p_{\blue{2k+1}},...\}$$
[/mm]
gemeint ist. Diese Menge sollte l.u. sein.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
> überlege dir zuerst, dass für alle i gilt: [mm]p_i \in \, [/mm]
>
> und zeige das dann auch.
>
> Und daraus lässt sich leicht folgern, dass jedes Polynom
> der Form:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_ip_i[/mm] als Linearkombination von [mm]p_i[/mm]'s
> ebenfalls in [mm][/mm] ist.
nur, damit klarer wird, was hier gemeint ist:
Damit folgt, dass, wenn wir den Vektorraum aller reellen Polynome [mm] $V\,$ [/mm] nennen, dann $<V>=V [mm] \subseteq [/mm] <B>$ gilt.
Aus $B [mm] \subset V\$ [/mm] folgert man aber sofort $<B> [mm] \subseteq =V\,.$ [/mm] Insgesamt also $V [mm] \subseteq [/mm] <B> [mm] \subseteq [/mm] <V>=V,$ also $V [mm] \subseteq [/mm] <B> [mm] \subseteq [/mm] V$ bzw. [mm] $=V\,.$
[/mm]
P.S.:
Beachte: [mm] $V\,$ [/mm] VR [mm] $\Rightarrow$ $=V\,.$ [/mm] (Insbesondere gilt auch [mm] $<>=\,.$)
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 So 13.06.2010 | | Autor: | Tresche |
Also in der Aufgabe stehts wortwörtlich so:
$ [mm] B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_{1},p_{1}+p_{2},p_{1}+p_{3},...,p_{1}+p_{k},...\} [/mm] $
Entweder hat sich der Aufgabensteller verschrieben oder die Menge soll wirklich so aussehen.
Vielen Dank nochmals für die Hilfen, habs mittlerweile verstanden! :)
Gruß
Tresche
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und müsste es nicht heißen:
> [mm]v(x)=\sum_{k=1}^m a_kq_k(x)\;\;\;(x \in \IR)\,.[/mm]
> wegen den
> Koeffizienten?
ja, das stimmt natürlich und ich habe es mittlerweile korrigiert (war ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits). Schön, dass Du nicht nur einfach liest, sondern auch mitdenkst und mitarbeitest. 
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
Du hast nicht richtig gelesen.
Die Menge B ist sehr wohl unabhängig, da [mm] $p_1 \not\in [/mm] B$.
edit: Ok, da hab ich nicht richtig gelesen.
Ich vermute aber mal ganz stark, dass das [mm] p_1 [/mm] vom Fragesteller da ausversehen reingerutscht ist......
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:21 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Du hast nicht richtig gelesen.
> Die Menge B ist sehr wohl unabhängig, da [mm]p_1 \not\in B[/mm].
auch, wenn man [mm] $p_1$ [/mm] aus obiger Menge [mm] $B\,$ [/mm] entfernt, wird diese so entstandene Menge linear abhängig bleiben. S.u.
> edit: Ok, da hab ich nicht richtig gelesen.
> Ich vermute aber mal ganz stark, dass das [mm]p_1[/mm] vom
> Fragesteller da ausversehen reingerutscht ist......
Ja. Aber selbst, wenn es ein Verschreiber ist:
Dann ist
[mm] $$\{p_2,p_4, p_1+p_4, p_1+p_2\}$$
[/mm]
eine endliche linear abhängige Teilmenge von [mm] $B\,,$ [/mm] denn es gilt
[mm] $$$p_2=(p_1+p_2)-(p_1+p_4)+p_4\,.$
[/mm]
Anders sieht es vielleicht aus, wenn
$$ [mm] B:=\{p_{0},p_{2},p_{4},...,p_{2k},...,p_1, p_{1}+p_{\blue{3}},p_{1}+p_{\blue{5}},...,p_{1}+p_{\blue{2k+1}},...\}$$
[/mm]
sein sollte.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
