Vektorraum u. Diff.glg. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 19.01.2005 | | Autor: | beni |
Hallo,
was haben Lösungen von Differentialgleichungen, Polynome, etc mit Vektorräumen zu tun?
ein konkretes Bsp dazu:
Zeigen Sie, dass die zweimal differenzierbare Funktionen y(x), [mm] x\in\IR, [/mm] die der Differentialgleichung y''+ay'+by=0 mit Konstanten a,b genügen, einen Vektorraum (Unterraum des Vektorraums aller zweimal differenzierbaren Funktionen über [mm] \IR) [/mm] bilden.
selber bring ich bei diesem Bsp nicht einmal einen Ansatz hervor (siehe obige frage...)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nun, die zweimal auf [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbaren Funktionen auf [mm] $\IR$ [/mm] bilden mit den Operationen
$(f+g)(x):= f(x) + g(x)$,
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f)(x):= [mm] \lambda \cdot [/mm] f(x)$
offenbar einen Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] (denn die Summe zweier zweimal differenzierbarer Funktionen und das skalare Vielfache einer zweimal differenzierbaren Funktion sind wiederum zweimal differenzierbar).
Nun musst du zeigen, dass die Lösungen von
$y'' + ay' + by=0$
einen Unterraum $U$ davon bilden.
Es sei $o(x)=0$ die Nullfunktion. Dann gilt:
$o''(x) + ao'(x) + bo(x) = 0 + 0 + 0 = 0$,
also: $o [mm] \in [/mm] U$.
Jetzt musst du zeigen:
mit $f,g [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $\lambda,\mu \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $\lambda \cdot [/mm] f + [mm] \mu \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] U$, also
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f + [mm] \mu \cdot [/mm] g)''(x) + a [mm] \cdot (\lambda \cdot [/mm] f + [mm] \mu \cdot [/mm] g)'(x) + b [mm] \cdot (\lambda \cdot [/mm] f + [mm] \mu \cdot [/mm] g)(x) = 0$.
Aber das kann man jetzt ganz einfach nachweisen, indem man die Linearität der Ableitungen ausnutzt und dann die Voraussetzungen
$f''(x) + a [mm] \cdot [/mm] f'(x) + b [mm] \cdot [/mm] f(x)=0$
und
$g''(x) + a [mm] \cdot [/mm] g'(x) +b [mm] \cdot [/mm] g(x)=0$
verwendet.
Willst du es mal versuchen? 
Liebe Grüße
Stefan
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