Vektorraum und Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mo 05.01.2009 | | Autor: | giny |
| Aufgabe | Im reellen Vektorraum R4 sind die beiden Teilmengen
U = (x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 = 0 und x2 + x3 + x4 = 0)
und
W = (x ∈ R4 | x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 0 und x1 − x2 + x4 = 0)
gegeben.
a) Man begründe, warum U und W Unterrä̈ume von R4 sind, und gebe die
Vektoren von U und W (mit Hilfe von Parameterdarstellungen) explizit an.
b) Man bestimme einen Vektor v ∈ R4 mit U ∩ W = R · v.
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Hallo,
Meine Frage ist zu Teilaufgabe a: Hier muss ich doch lediglich die Unterraumkriterien von U und W nachweisen. richtig?
Bei Teilaufgabe b) bin ich mir nicht sicher, ob mein Ansatz richtig ist.
Hier habe ich die beiden Bedingungen jeweils ineinander eingesetzt und dann gleichgesetzt, aufgelöst und gleich 0 gesetzt.
Dann weiß ich allerdings nicht weiter...kann mir jemand helfen?? lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Im reellen Vektorraum R4 sind die beiden Teilmengen
> U = (x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 = 0 und x2 +
> x3 + x4 = 0)
> und
> W = (x ∈ R4 | x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 0 und
> x1 − x2 + x4 = 0)
> gegeben.
> a) Man begründe, warum U und W Unterrä̈ume von R4
> sind, und gebe die
> Vektoren von U und W (mit Hilfe von
> Parameterdarstellungen) explizit an.
> b) Man bestimme einen Vektor v ∈ R4 mit U ∩ W
> = R · v.
>
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> Hallo,
>
> Meine Frage ist zu Teilaufgabe a: Hier muss ich doch
> lediglich die Unterraumkriterien von U und W nachweisen.
> richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zusätzlich sollst Du ja auch noch die Parameterdarstellung von U und W angeben.
U und W sind beide die Lösungsmengen eines Gleichungssystems, welche Du noch bestimmen mußt.
(Falls Ihr bereits hattet, daß die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein VR ist, kannst Du Dir den nachweis der Unterraumkriterien sogar sparen.)
> Bei Teilaufgabe b) bin ich mir nicht sicher, ob mein Ansatz
> richtig ist.
> Hier habe ich die beiden Bedingungen jeweils ineinander
> eingesetzt und dann gleichgesetzt, aufgelöst und gleich 0
> gesetzt.
> Dann weiß ich allerdings nicht weiter...kann mir jemand
> helfen?? lg
Ich weiß nicht genau, ob Du das richtige getan hast.
Die Vektoren, die im Schnitt beider Räume liegen, lösen sowohl [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
als auch [mm] x_1 [/mm] + 2 [mm] x_2 [/mm] + 3 [mm] x_3 [/mm] + 4 [mm] x_4 [/mm] = 0 und [mm] x_1-x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0:
Also sind sie Lösung des Systems
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + 2 [mm] x_2 [/mm] + 3 [mm] x_3 [/mm] + 4 [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_1-x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0.
Bestimme eine Basis des Lösungsraumes.
Gruß v. Angela
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