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Vektorraum zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Do 16.11.2017
Autor: MichaelF.

Aufgabe
Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.

Hallo, ich habe Probleme mit obiger Aufgabe.

Bis jetzt habe ich versucht, zu zeigen, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind:
Dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist, müsste eigentlich klar sein, da die Abbildung f ja ein Ringhomomorphismus ist und somit R ein Ring.
Nun hänge ich aber dabei, zu zeigen dass die Bedingungen für die Skalarmultiplikation auch gelten. Hier habe ich nur gezeigt, dass f(1)=1 ist und somit 1*v=v [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R gilt .
Wie zeige ich dann noch die Assoziativität und Distributivität der Skalarmultiplikation? Oder ist mein Ansatz komplett falsch? :(

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=581992

        
Bezug
Vektorraum zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Fr 17.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K
> ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.

Hallo,

[willkommenmr].

Gibt es einen einleitenden Text zur Aufgabe?
Mir scheint, es fehlen Informationen.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Vektorraum zeigen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 16:09 Fr 17.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K
> ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.
>  Hallo, ich habe Probleme mit obiger Aufgabe.
>  
> Bis jetzt habe ich versucht, zu zeigen, dass die
> Vektorraumaxiome erfüllt sind:

Hallo,

prinzipiell ist das der richtige Weg, nur leider fehlt Dir dazu noch eine Verknüpfung [mm] \*:K\times R\to [/mm] R.
Ich denke, Du hast den Aufgabentext unvollständig oder falsch wiedergegeben - oder die Chefs haben die Angabe der Verknüpfung vergessen.

Zeigen kannst Du, daß R zusammen mit der Addition +_R im Ring und der Verknüpfung
[mm] \odot:K\times R\to [/mm] R
mit [mm] k*\odot [/mm] r [mm] :=f(k)\*_Rr [/mm] f.a. [mm] k\in [/mm] K, [mm] r\in [/mm] R
einen K-Vektorraum bildet. [mm] \*_R [/mm] ist dabei die Multiplikation im Ring.


>  Dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist, müsste eigentlich
> klar sein, da die Abbildung f ja ein Ringhomomorphismus ist
> und somit R ein Ring.

Ja, weil R ein Ring ist, brauchst Du für die Addition nichts zu zeigen.

>  Nun hänge ich aber dabei, zu zeigen dass die Bedingungen
> für die Skalarmultiplikation auch gelten.

Bisher hatten wir keine Skalarmultiplikation...

> Hier habe ich
> nur gezeigt, dass f(1)=1

Das ist nichts, was man zeigt, sondern es isteine Folge daraus, daß f ein Ringhomomorphismus ist.
Es hilft, ziemlich genau zu arbeiten: es ist [mm] f(1_K)=1_R. [/mm]

> ist und somit 1*v=v [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm]
> R gilt .

Mit "meiner" Verknüpfung funktioniert das dann wirklich:

[mm] 1_K\odot r=f(1_K)\*_Rr=1_R\*_Rr=1. [/mm]

>  Wie zeige ich dann noch die Assoziativität und
> Distributivität der Skalarmultiplikation?

Nachdem wir uns nun eine Multiplikation mit Skalaren ausgedacht haben, sollte es klappen. Ohne Verknüpfung konnte es nicht funktionieren.



> Oder ist mein
> Ansatz komplett falsch? :(

Für ein Reisgericht sollte man auch Reis zur Hand haben...

LG Angela


>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus :)
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=581992


Bezug
                
Bezug
Vektorraum zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 21:58 Fr 17.11.2017
Autor: SEcki


> Das ist nichts, was man zeigt, sondern es isteine Folge
> daraus, daß f ein Ringhomomorphismus ist.
> Es hilft, ziemlich genau zu arbeiten: es ist [mm]f(1_K)=1_R.[/mm]

Solange R nicht eine 1 enthält und man zusätzlich obiges fordert (und das fehlt hier erstmal), ist die Aussage falsch - und auch die ganze Aufgabe.

Gegenbeispiel: [mm] \IR \to \IR \times \IR,\quad x \mapsto (x,0)[/mm].

SEcki

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 06:45 Sa 18.11.2017
Autor: angela.h.b.


> > Das ist nichts, was man zeigt, sondern es isteine Folge
>  > daraus, daß f ein Ringhomomorphismus ist.

>  > Es hilft, ziemlich genau zu arbeiten: es ist

> [mm]f(1_K)=1_R.[/mm]
>  
> Solange R nicht eine 1 enthält und man zusätzlich obiges
> fordert (und das fehlt hier erstmal), ist die Aussage
> falsch - und auch die ganze Aufgabe.

Klar!
Da hast Du völlig recht.

Ich bin hier natürlich davon ausgegangen, daß in MichaelFs Vorlesung mit "Ring" Ringe mit Eins gemeint sind - wird ja oftmals so gehandhabt.
Sein Lösungsversuch könnte ein Indiz sein.

LG Angela





>  
> Gegenbeispiel: [mm] \IR \to \IR \times \IR,\quad x \mapsto (x,0)[/mm].
>  
> SEcki


Bezug
                                
Bezug
Vektorraum zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 21:59 Sa 18.11.2017
Autor: SEcki


> Ich bin hier natürlich davon ausgegangen, daß in
> MichaelFs Vorlesung mit "Ring" Ringe mit Eins gemeint sind
> - wird ja oftmals so gehandhabt.
> Sein Lösungsversuch könnte ein Indiz sein.

Was dann aber komisch ist, dass man dann die Injektivität fordert. Das geht ja bei der Konstruktion gar nicht ein. Viel mehr wenn man Surhjektivität fordert, dann kann man a priori auch erstmal von R als Ring ohne 1 ausgehen - und sich herleiten, dass es dort eine 1 gebene muss.

Find ich alles komisch. :-)

SEcki

Bezug
        
Bezug
Vektorraum zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Fr 17.11.2017
Autor: MichaelF.

Hallo,

vielen, vielen Dank schon einmal im Voraus für die schnelle und ausführliche Antwort. Das Überprüfen der Axiome fällt dann ja leicht :) Doch wie genau bist du auf die Definition der Skalarmultiplikation gekommen?

LG Michael

Bezug
                
Bezug
Vektorraum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 Sa 18.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>
> vielen, vielen Dank schon einmal im Voraus für die
> schnelle und ausführliche Antwort.

Moin,

beachte SEckis Einwand: das funktioniert natürlich nur bei einem Ring mit Eins - ich gehe davon aus, daß wir über einen solchen reden.

> Das Überprüfen der
> Axiome fällt dann ja leicht :) Doch wie genau bist du auf
> die Definition der Skalarmultiplikation gekommen?

Naja, so schwer war das nicht. Es muß ja etwas mit dem Homomorphismus zu tun haben, und auch mit der Multiplikation im Ring.

Trotzdem würde mich die originale Aufgabenstellung interessieren.
Da stand dabei, daß man eine Verknüpfung definieren soll, mit der R dann zum Vektorraum wird, oder?

LG Angela

>
> LG Michael


Bezug
                        
Bezug
Vektorraum zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Sa 18.11.2017
Autor: MichaelF.

Hallo,

in der originalen Aufgabenstellung war nichts weiter angegeben. Sie entspricht der, die ich in meinen ersten Post eingefügt habe. Leider waren keine weiteren Informationen gegeben.

LG Michael

Bezug
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