Vektorraumbündel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Do 26.05.2011 | | Autor: | jay91 |
| Aufgabe | zeigen sie das es sich im folgenden um Vektorraumbündel handeltund gebe bei 2.) eine bündelabbildung an:
1.) sei V ein n-dim. [mm] \IR-VR [/mm] und X ein top. Raum. Dann ist E=X [mm] \times [/mm] V mit
[mm] \pi(x,v)=x [/mm] ein n-dim. Vektorraumbündel über X.
2.) sei [mm] L_{S^n}={(x,v) \in S^n\times\IR^{n+1}| v \in } [/mm] mit [mm] \pi(x,v)=x.
[/mm]
3.) sei [mm] (E,\pi) [/mm] ein Vektorbündel über X und Y [mm] \subseteq [/mm] X ein Teilraum.
Dann ist [mm] (E|_{Y}, \pi|_{Y}) [/mm] mit [mm] E|_{Y}:=\pi^{-1} [/mm] (Y) und [mm] \pi|_{Y}:=\pi|_{E|_{Y}}= \pi|_{\pi^{-1}(Y)} [/mm] ein Vektorraumbündel über Y |
zuerst einmal die Definition eines Vektorraumbündels:
sei X ein topologischer Raum, ein n-dim. Vektorraumbündel über X ist ein Paar (E, [mm] \pi), [/mm] wobei gilt:
i) [mm] \pi:E->X [/mm] ist eine stetige Abbildung, insbesondere ist E ein top. Raum
ii) für alle x [mm] \in [/mm] X ist [mm] E_x:=\pi^{-1}(x) [/mm] mit der Struktur eines [mm] \IR [/mm] -VR versehen.
iii) es gilt das Axiom der lokalen Trivialität, d.h. für jedes x [mm] \in [/mm] X ex. eine offene Umgebung U [mm] \subseteq [/mm] X von x und einen Homöomorphismus
[mm] f:\pi^{-1}(U)->U\times \IR^{n}, [/mm] so dass:
a) [mm] f(E_y)=\{y\}\times \IR^n
[/mm]
b) [mm] f|_{E_{y}}:E_y [/mm] -> [mm] \{y\} \times \IR^n [/mm] ein [mm] \IR-VR [/mm] Isomorphismus ist.
___________________________________________________________
nun zu der Aufgabe:
1)
[mm] \pi:X \times [/mm] V -> X; [mm] \pi(x,v)=x [/mm] ist stetig, da Pojektion auf die 1. Komponente. V ist ein metrischer Raum also auch ein top. Raum. dann ist das Kreuxprodukt auch ein top. Raum
weiter gilt: [mm] \pi^{-1}(x)=E_x=\{x\} \times [/mm] V. Warum ist dies mit der [mm] \IR [/mm] Vektorraum-Struktur versehen?
sei jetzt x [mm] \in [/mm] X, U:=X ist eine offene Umgebung von x in X und f sei die Identität.
dann müsste id: [mm] \pi^{-1}(X) [/mm] -> X [mm] \times \IR^n [/mm] ein Homöomorphismus sein.
stimmt das? sind dann auch die Eigenschaften a) und b) auch erfüllt?
Wie geht es bei 2 und 3?
bei 2 bekomme ich schon den 2. Punkt nicht hin.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> zeigen sie das es sich im folgenden um Vektorraumbündel
> handeltund gebe bei 2.) eine bündelabbildung an:
> 1.) sei V ein n-dim. [mm]\IR-VR[/mm] und X ein top. Raum. Dann ist
> [mm]E=X\timesV[/mm] mit
> [mm]\pi(x,v)=x[/mm] ein n-dim. Vektorraumbündel über X.
> 2.) sei [mm]L_{S^n}={(x,v) \in S^n\times\IR^{n+1}| v \in }[/mm]
> mit [mm]\pi(x,v)=x.[/mm]
> 3.) sei [mm](E,\pi)[/mm] ein Vektorbündel über X und Y [mm]\subseteq[/mm]
> X ein Teilraum.
> Dann ist [mm](E|_{Y}, \pi|_{Y})[/mm] mit [mm]E|_{Y}:=\pi^{-1}[/mm] (Y) und
> [mm]\pi|_{Y}:=\pi|_{E|_{Y}}= \pi|_{\pi^{-1}(Y)}[/mm] ein
> Vektorraumbündel über Y
> zuerst einmal die Definition eines Vektorraumbündels:
> sei X ein topologischer Raum, ein n-dim. Vektorraumbündel
> über X ist ein Paar (E, [mm]\pi),[/mm] wobei gilt:
> i) [mm]\pi:E->X[/mm] ist eine stetige Abbildung, insbesondere ist E
> ein top. Raum
> ii) für alle x [mm]\in[/mm] X ist [mm]E_x:=\pi^{-1}(x)[/mm] mit der
> Struktur eines [mm]\IR[/mm] -VR versehen.
> iii) es gilt das Axiom der lokalen Trivialität, d.h. für
> jedes x [mm]\in[/mm] X ex. eine offene Umgebung U [mm]\subseteq[/mm] X von x
> und einen Homöomorphismus
> [mm]f:\pi^{-1}(U)->U\times \IR^{n},[/mm] so dass:
> a) [mm]f(E_y)=\{y\}\times \IR^n[/mm]
> b) [mm]f|_{E_{y}}:E_y[/mm] -> [mm]\{y\} \times \IR^n[/mm]
> ein [mm]\IR-VR[/mm] Isomorphismus ist.
>
> ___________________________________________________________
>
> nun zu der Aufgabe:
>
> 1)
> [mm]\pi:X \times[/mm] V -> X; [mm]\pi(x,v)=x[/mm] ist stetig, da Pojektion
> auf die 1. Komponente. V ist ein metrischer Raum also auch
> ein top. Raum. dann ist das Kreuxprodukt auch ein top.
> Raum
> weiter gilt: [mm]\pi^{-1}(x)=E_x=\{x\} \times[/mm] V. Warum ist
> dies mit der [mm]\IR[/mm] Vektorraum-Struktur versehen?
Es gilt [mm] \{x\} \times V \cong V [/mm]. Das macht man sich recht schnell klar. Du hast, indem du auf der zweiten Komponente einfach die durch V induzuierten Verknüpfungen erklärst, sofort die Vektorraumstruktur und die Projektion ist dann in diesem Fall ein Isomorphismus.
> sei jetzt x [mm]\in[/mm] X, U:=X ist eine offene Umgebung von x in
> X und f sei die Identität.
> dann müsste id: [mm]\pi^{-1}(X)[/mm] -> X [mm]\times \IR^n[/mm] ein
> Homöomorphismus sein.
> stimmt das? sind dann auch die Eigenschaften a) und b)
> auch erfüllt?
Ja. Genau genommen ist es nicht die Identität, sondern [mm] id_{X} \times I [/mm], wobei [mm] \(I:V\to \IR^{n}\) [/mm] ein VR-Iso ist.
>
> Wie geht es bei 2 und 3?
Bei der 2) ist mir nicht ganz klar, was [mm]v \in \[/mm] bedeuten soll.
Bei der 3) startest du einfach mit Trivialisierungen für das Vektorbündel auf X, und schneidest alles auf Y runter.
> bei 2 bekomme ich schon den 2. Punkt nicht hin.
>
> mfg
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Fr 27.05.2011 | | Autor: | jay91 |
ok, schon mal danke.
mit <x> meine ich das erzeugnis von x. das müsste eigentlich eine Gerade sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> ok, schon mal danke.
> mit <x> meine ich das erzeugnis von x. das müsste
> eigentlich eine Gerade sein oder?
Ja ok, das hatte ich fast schon gedacht. Dann ist jedenfalls schonmal klar, dass die Fasern Vektrorräume sind oder?
Um die Trivialisierungen zu bauen musst du dann stereographische Projektion benutzen, und zwar auf die zweite Komponente (also auf v). Du hast dann also Trivialisierungen, [mm] id_{S^{n}} \times ST [/mm]( ST hier für stereographische Projektion); wobei du als Umgebungen die üblichen Karten verwendest.
Grüße Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Mo 30.05.2011 | | Autor: | jay91 |
hey!
ne so ganz klar ist mir das noch nicht.
[mm] (L_{S^n})_x:=\pi^{-1}(x)=\{x\} \times [/mm] <x>, jetzt gilt wieder: [mm] \{x\} \times [/mm] <x> [mm] \cong [/mm] <x> und <x> ist ein [mm] \IR [/mm] Vektorraum.
jetzt zur trivialisierung:
sei x [mm] \in [/mm] X und U [mm] \subseteq [/mm] X offen, so dass für alle y [mm] \in [/mm] U gilt -y [mm] \not\in [/mm] U
wie definierst du dir dein f jetzt?
[mm] f:=id_{S^n} \times [/mm] ST; (x,v)|->(x, und hier?)
wie gelten dann die beiden bedingungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> hey!
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> ne so ganz klar ist mir das noch nicht.
> [mm](L_{S^n})_x:=\pi^{-1}(x)=\{x\} \times[/mm] <x>, jetzt gilt
> wieder: [mm]\{x\} \times[/mm] <x> [mm]\cong[/mm] <x> und <x> ist ein [mm]\IR[/mm]
> Vektorraum.
> jetzt zur trivialisierung:
> sei x [mm]\in[/mm] X und U [mm]\subseteq[/mm] X offen, so dass für alle y
> [mm]\in[/mm] U gilt -y [mm]\not\in[/mm] U
> wie definierst du dir dein f jetzt?
> [mm]f:=id_{S^n} \times[/mm] ST; (x,v)|->(x, und hier?)
> wie gelten dann die beiden bedingungen?
Hi!
Sorry, ich war im letzten Beitrag zu voreilig, das ist natürlich völliger murks. Wir haben hier schließlich ein Geradenbündel, und ST wäre eine Abbildung nach [mm] \IR^{n} [/mm].
Dieses Geradenbündel wird normalerweise für die projektiven Räume eingeführt, und heißt da tautologisches Geradenbündel. Das hier ist der Pullback davon auf die Sphäre.
Man kann aber denke ich auch direkt Trivialisierungen angeben (für die projektiven Räume sind diese etwas offensichtilicher).
Wähle für die Sphäre die Überdeckung [mm] U_{i}:=\{x\in S^{n}\subset \IR^{n} : x_{i}\neq 0\} \[/mm], und als Trivialisierungen
[mm]\pi^{-1}(U_{i}) \to U_{i} \times \IR, (x, v)\mapsto (x,v_{i}) [/mm].
Das sollte dann klappen.
Grüße,
Berieux
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