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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Sidonie |
Hallo! Bin eine verzweifelte Mathestudentin im 1. Semester und hab keinen Plan, wie ich diese Aufgabe lösen kann:
Auf [mm] \IR [/mm] seien Verknüpfungen [mm] \oplus, [/mm] *, [mm] \circ [/mm] folgendermaßen erklärt: x [mm] \oplusy [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x³+y³}, [/mm] r*x= rx (gewöhnliche Multiplikation), r [mm] \circx [/mm] = [mm] \wurzel[3]{r}x [/mm] für alle x, y, r [mm] \in \IR. [/mm] Untersuchen Sie, welche der für einen Vektorraum geforderten eigenschaften erfüllt sind für
(a) [mm] \IR [/mm] mit [mm] \oplus [/mm] als ,, Vektoraddition" und * als ,, Skalarmultiplikation"
(b) [mm] \IR [/mm] mit [mm] \oplus [/mm] als ,,Vektoraddition" und [mm] \circ [/mm] als ,,Skalarmultiplikation"
Ich weiß zwar, welche Eigenschaften für Vektorräume gelten, aber wie die jetzt anhand dieser komischen Verknüpfungen anwenden muss, weiß ich leider nicht...freue mich über jede kleine Hilfe!!!
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> Hallo! Bin eine verzweifelte Mathestudentin im 1. Semester
> und hab keinen Plan, wie ich diese Aufgabe lösen kann:
Hallo,
daß Du verzweifelt bist, spricht dafür, daß du eine ganz normale Mathestudentin im ersten Semester bist. Die Verzweiflung legt sich im Laufe der Zeit.
> Auf [mm]\IR[/mm] seien Verknüpfungen [mm]\oplus,[/mm] *, [mm]\circ[/mm]
> folgendermaßen erklärt: x [mm]\oplus y[/mm] := [mm]\wurzel[3]{x³+y³},[/mm]
> r*x= rx (gewöhnliche Multiplikation), r [mm] \circx [/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{r}x[/mm] für alle x, y, r [mm]\in \IR.[/mm] Untersuchen Sie,
> welche der für einen Vektorraum geforderten eigenschaften
> erfüllt sind für
> (a) [mm]\IR[/mm] mit [mm]\oplus[/mm] als ,, Vektoraddition" und * als ,,
> Skalarmultiplikation"
Erstmal mußt du schauen, ob ( [mm] \IR, \oplus) [/mm] eine abelsche Gruppe ist, also assoziativ, kommutativ, ein neutrale Element existiert, und ob jedes Element ein Inverses hat.
Zu assoziativ: Seien a,b,c [mm] \in \IR.
[/mm]
Ist (a [mm] \oplus [/mm] b) [mm] \oplus [/mm] c=a [mm] \oplus [/mm] (b [mm] \oplus [/mm] c) ?
D.h.: Ist (a [mm] \oplus [/mm] b) [mm] \oplus [/mm] c = [mm] \wurzel[3]{a³+b³} \oplus [/mm] c= [mm] \wurzel[3]{(\wurzel[3]{a³+b³})^3+z^3}= [/mm] ... = a [mm] \oplus [/mm] (b [mm] \oplus [/mm] c)
Kommutativ ist klar, wenn Du assoziativ verstanden hast.
Neutrales Element: gibt es ein n [mm] \in \IR [/mm] mit
n [mm] \oplus [/mm] x= x für alle x [mm] \in \IR?
[/mm]
Findest Du zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] ggf ein Inverses? D.h. gibt es für alle x [mm] \in \IR [/mm] ein y [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \oplus [/mm] y=n?
Dann haben wir noch die Bedingungen für "Verbindungen" von Skalaren und Vektoren zu prüfen. Immer mit den oben definierten Verknüpfungen. Die Elemente von [mm] \IR [/mm] sind hier je nach Zusammenhang Skalare oder Vektoren.
Ist für alle a,b,x,y [mm] \in \IR
[/mm]
1. (ab) * x= a*(b* x) ?
2. a *(x [mm] \oplus [/mm] y]= a * x [mm] \oplus [/mm] a * y?
3. (a+b)*x=a*x [mm] \oplus [/mm] b*x ?
4. 1*x=x
> (b) [mm]\IR[/mm] mit [mm]\oplus[/mm] als ,,Vektoraddition" und [mm]\circ[/mm] als
> ,,Skalarmultiplikation"
Hier geht's genauso. Erst die Gruppeneigenschaften für [mm] (\IR, \oplus), [/mm] und dann
1. (ab) [mm] \circ [/mm] x= a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] x) ?
2. a [mm] \circ [/mm] (x [mm] \oplus [/mm] y]= a [mm] \circ [/mm] x [mm] \oplus [/mm] a [mm] \circ [/mm] y?
3. (a+b) [mm] \circ [/mm] x=a [mm] \circ [/mm] x [mm] \oplus [/mm] b [mm] \circ [/mm] x ?
4. [mm] 1\circ [/mm] x=x
Das Wichtigste, was Du hier lernen kannst und sollst ist, warum bei den Punkten1. - 4. welches Rechenzeichen steht. Mach Dir jedesmal klar, ob Vektoren verknüpft werden, Vektoren mit Skalaren, oder ob man Verknüpfungen innerhalb des Skalarenkörpers vorliegen hat. Das ist viiiiiiiel wichtiger, als die Rechentechnik als solche. Wobei die auch gerne richtig sein darf.
Ich hoffe, daß Du nun anfangen kannst, und ein wenig verstehst, was Du tust.
Viel Erfolg und Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Sidonie |
Also erstma Danke, hab den Ansatz auf jeden FAll verstanden, ist ja alles nicht so schwer, wenn man da erstma drauf kommt.
Also zu zeigen:
Assoziativität: Seien x,y, z [mm] \in \IR [/mm]
(x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z = x [mm] \oplus( [/mm] y [mm] \oplusz) [/mm] ?
[mm] \wurzel[3]{x³ + x³} \oplus [/mm] z= x [mm] \oplus [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{y³+z³}
[/mm]
--> [mm] \wurzel[3]{ (\wurzel[3]{x³+y³})³+z³} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x³+( \wurzel[3]{y³+z³})³}
[/mm]
--> [mm] \wurzel[3]{x³+y³+z³}= \wurzel[3]{x³+y³+z³}
[/mm]
Kommutativität: x [mm] \oplusy [/mm] = y [mm] \oplusx
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{x³+y³}= \wurzel[3]{y³+x³}
[/mm]
Neutrales Element: n [mm] \oplus \IR [/mm] mit n [mm] \oplusx= [/mm] x für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
0 [mm] \oplusx= \wurzel[3]{0³+x³} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{x³}= [/mm] x
Inverses Element: x [mm] \oplus [/mm] y=n für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
x [mm] \oplusy= [/mm] 0
Hier komm ich jetzt irgendwie nicht weiter ist das inverse Element zu x dann y^-1 wenn y=x^-1???Oder wie macht man das?
Bedingungen für Verbindungen: r,s,x,y, [mm] \in \IR
[/mm]
1. (r*s)*x= r*(s*x) ?
--> (rs)*x= r*(sx)
--> rsx= rsx
2. r*(x [mm] \oplusx) [/mm] = r*x+r*y ??
--> r [mm] \wurzel[3]{x³+y³}= [/mm] rx+ry
--> r [mm] \wurzel[3]{x³+y³} \not= [/mm] rx+ry
Ist das so richtig??? Da bin ich mir nämlich sehr unsicher, das würde dann ja bedeuten das die Verbindung keinen Vektorraum bildet
3. (r+s) *x= r*x+ s*x ??
--> (r+s)x= rx+sx
--> rx+sx= rx+sx
4. 1*x= x ??
1x= x
Also soweit sieht jetzt meine Lösung aus, Aufgabenteil (b) ist dann ja analog zu rechnen. Aber ist das so korrekt alles???
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>
> Also zu zeigen:
> Assoziativität: Seien x,y, z [mm]\in \IR[/mm]
Schreib es anders auf:
>
> (x [mm]\oplus[/mm] y) [mm]\oplus[/mm] z =[mm]\wurzel[3]{x³ + x³} \oplus[/mm] z= [mm]\wurzel[3]{ (\wurzel[3]{x³+y³})³+z³}[/mm]= [mm]\wurzel[3]{x³+\wurzel[3]{y³+z³})³}[/mm]= x [mm]\oplus[/mm] ( [mm]\wurzel[3]{y³+z³}[/mm]=x [mm]\oplus([/mm] y [mm]\oplusz)[/mm]
>
> Kommutativität:
x [mm]\oplus y[/mm] = [mm]\wurzel[3]{x³+y³}=\wurzel[3]{y³+x³}[/mm]= y [mm]\oplus x[/mm]
>
> Neutrales Element: gesucht ist n [mm]\oplus \IR[/mm] mit n [mm]\oplus x=[/mm] x für alle
> x [mm]\in \IR[/mm]
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist
0 [mm]\oplus x= \wurzel[3]{0³+x³}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{x³}=[/mm] x,
also gibt es ein neutrales Element.
>
> Inverses Element: zu zeigen: für alle x [mm] \in \IR [/mm] x findet man ein y [mm] \in \IR [/mm] mit [mm]\oplus[/mm] y=0
Sei x [mm] \in \IR. [/mm] Dann ist -x [mm] \in \IR [/mm] und es ist x [mm] \oplus [/mm] (-x)= [mm]\wurzel[3]{x³+(-x)^3}[/mm]=0
> Bedingungen für Verbindungen: r,s,x,y, [mm]\in \IR[/mm]
>
> 1. (r*s)*x= r*(s*x) ?
(rs)*x=(rs)x=r(sx)=r*(s*x)
Hiiiiiiiiiilfeeeeeee! Schandeeeeeeeeeeee! Ich hatte dir etwas Falsches aufgeschrieben, hab's eben verbessert: Hinter das Gleichheitszeichen gehören bei 2. und 3. [mm] \oplus [/mm] statt +! Tut mir leid! Da werden ja Vektoren addiert, also Vektoraddition. Das mußt du leider nochmal machen. Schreib'sam besten gleich als Gleichungskette auf, das ist irgendwie sauberer.
> 2. r*(x [mm]\oplus y)[/mm] = r*x [mm] \oplus [/mm] r*y ??
Bei 3. dieselbe Panne. Vorne normale Addition, hinten muß Vektoraddition hin .
> 3. (r+s) *x= r*x [mm] \oplus [/mm] s*x ??
> 4. 1*x= x ??
> 1x= x
Genau.
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> Also soweit sieht jetzt meine Lösung aus, Aufgabenteil (b)
> ist dann ja analog zu rechnen. Aber ist das so korrekt
> alles???
Es wird korrekt werden, nachdem ich Dir jetzt richtig verraten habe, wie's geht. Du hast es sehr gut gemacht bisher, Du wirst in diesem Aufgabenteil herausbekommen, daß es ein Vektorraum ist.
Ohne zu rechnen bin ich mir sicher: im zweiten Beispiel nicht. Wieso??? Mathematikpsychologie!!!!
Gruß v. Angela
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