Vektorrechnung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Do 24.01.2008 | | Autor: | alex08 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
vielleicht kann mir eine(r) bei folgender Aufgabe helfen, ich würde mich sehr freuen.
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"Welche Gerade g2 verläuft durch den Punkt Q und steht senkrecht auf der durch P1 und P2 gegebenen Gerade g1 ?
P1=(1,1,1) ; P2 =(-1,0,-2) ; Q=(2,3,9)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> vielleicht kann mir eine(r) bei folgender Aufgabe helfen,
> ich würde mich sehr freuen.
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> "Welche Gerade g2 verläuft durch den Punkt Q und steht
> senkrecht auf der durch P1 und P2 gegebenen Gerade g1 ?
> P1=(1,1,1) ; P2 =(-1,0,-2) ; Q=(2,3,9)
Hallöchen ;)
Also was für dich ja kein Problem sein dürfte, ist das Aufstellen der beiden Geraden mit der Zwei-Punkte-Form, davon gehe ich jetzt einfach mal aus.
In der Vektorrechnung bedeutet Orthogonalität, dass die Geraden senkrecht aufeinanderstehen. Dies gilt auch für ihre Richtungsvektoren. Es muss also für die beiden Geraden mit den Richtungsvektoren
[mm]\vec m_1[/mm] und [mm]\vec m_2[/mm] gelten: [mm]\vec m_1 * \vec m_2 = \vec 0[/mm]
Das bedeutet nun für deine Aufgabe:
[mm]g_1:\vec x=\vec p_1 + r*(\vec p_2 - \vec p_1)[/mm]
Damit hast du auch den Richtungsvektor von [mm] g_1, [/mm] nämlich [mm]\vec m_1 = \vec p_2 - \vec p_1[/mm]
Für die Orthogonalität muss gelten [mm]\vec m_1 * \vec m_2 = \vec 0[/mm]
Daher kannst du dir jetzt einen beliebigen Vektor sozusagen erstellen, der mit dem errechneten [mm] \vec m_1 [/mm] multipliziert 0 ergibt. Normalerweise tauscht man dafür einfach die x-y-Koordinaten aus und ändert ein Vorzeichen. Wenn du dann [mm] \vec m_2 [/mm] hast, kannst du [mm] g_2 [/mm] ja ebenso einfach aufstellen, da der Punkt Q gegeben ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Do 24.01.2008 | | Autor: | alex08 |
danke für Deine Antwort,
ich glaube, dass es nur im 2-dimensionalen Raum erlaubt ist, die Vektoren zu vertauschen und das Vorzeichen zu verändern.
Wäre es möglich, diese Aufgabe mit Hilfe des Lotfußpunktes zu lösen, wenn ja, wie ?
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Hey ich denke der einfachste Weg ist der folgende:
Stelle eine Ebenengleichung auf, die durch den Punkt Q geht und rechtwinklig auf der Geraden durch [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] steht. Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene (=Fußpunkt F). Stelle die Gerade auf, die durch Q und F geht.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:59 Do 24.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Bei deiner Möglichkeit stehen zwar die beiden Richtungsvektoren senkrecht zu einander, allerdings ist die Wahrscheinlichkeit sehr groß, dass bei dem frei gewählten Vektor die Geraden nicht senkrecht auf einander stehen, da sich sich gar nicht treffen im [mm] \IR^3.
[/mm]
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 24.01.2008 | | Autor: | weduwe |
wenn du das vektorprodukt kennst, ist eine möglichkeit:
[mm] \vec{x}=\overrightarrow{OQ}+t\overrightarrow{P_1P}_2\times (\overrightarrow{P_1P}_2\times\overrightarrow{P_1Q})
[/mm]
so legst du fest, dass die gerade in der ebene [mm]P_1P_2Q[/mm] liegt.
damit bekommst du
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\3\\9}+t\vektor{-3\\0\\2}
[/mm]
der scnittpunkt der beiden geraden ist S(5/3/7).
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