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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
| Aufgabe | Gegeben sind die kartesischen Koordinaten von vier Punkten im Raum:
[mm] P=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}; Q=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}; R=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}; S=\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
a) [mm] g_{1} [/mm] sei die Gerade durch P und Q, [mm] g_{2} [/mm] die Gerade durch R und S.
Sind [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] windschief? Wie groß ist ihr Abstand?
b) Man berechne Volumen und Oberfläche des Tetraeders mit den Eckpunkten P,Q,R,S!
c) Gegeben sei eine Ebene E: x+y+z+a=0! Man beschreibe die Lage der Ebenen E zum Tetraeder! Welche Kante des Tetraeders werden (in Abhänigkeit von a [mm] \varepsilon [/mm] R)geschnitten?
d) Die Punkte P,Q,R liegen auf einer Seite der Ebene E, der Punkt S auf der anderen Seite! Die Schnittfläche zwischen E und dem Tetraeder betrage zwei Flächeneinheiten! Man bestimme daraus den Wert von a [mm] \varepsilon [/mm] R! |
Hallo,
ich hab ein paar Fragen. :D
Zu a)
Ich habe die Geraden aufgestellt. Dann gehen ich davon aus, dass die Richtungsvektoren [mm] \perp [/mm] zu den Geraden sind. Dadurch kann ich zwei Gleichungssysteme bilden, die ich Null setze um die unbekannten zu ermitteln, aber woher weiß ich, ob die beiden Geraden windschief sind oder nicht?
Zu b)
Da habe ich V=3,18 und A=15,59FE raus. Ist das richtig?
zu c)
Wie gehe ich die Aufgabe an?
zu d)
Wie gehe ich diese Aufgabe an? :D
Vielen Dank
JimK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mo 27.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die kartesischen Koordinaten von vier Punkten
> im Raum:
>
> [mm]P=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}; Q=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}; R=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}; S=\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
> a) [mm]g_{1}[/mm] sei die Gerade durch P und Q, [mm]g_{2}[/mm] die Gerade
> durch R und S.
> Sind [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] windschief? Wie groß ist ihr
> Abstand?
>
> b) Man berechne Volumen und Oberfläche des Tetraeders mit
> den Eckpunkten P,Q,R,S!
>
> c) Gegeben sei eine Ebene E: x+y+z+a=0! Man beschreibe die
> Lage der Ebenen E zum Tetraeder! Welche Kante des
> Tetraeders werden (in Abhänigkeit von a [mm]\varepsilon[/mm]
> R)geschnitten?
>
> d) Die Punkte P,Q,R liegen auf einer Seite der Ebene E, der
> Punkt S auf der anderen Seite! Die Schnittfläche zwischen
> E und dem Tetraeder betrage zwei Flächeneinheiten! Man
> bestimme daraus den Wert von a [mm]\varepsilon[/mm] R!
> Hallo,
>
> ich hab ein paar Fragen. :D
> Zu a)
> Ich habe die Geraden aufgestellt. Dann gehen ich davon
> aus, dass die Richtungsvektoren [mm]\perp[/mm] zu den Geraden sind.
?????
Richtungsvektorten von Geraden gehen in die Richtung ihrer Geraden und nicht senkrecht dazu.
> Dadurch kann ich zwei Gleichungssysteme bilden, die ich
> Null setze um die unbekannten zu ermitteln, aber woher
> weiß ich, ob die beiden Geraden windschief sind oder
> nicht?
Untersuche ob sie die gleiche Richtung haben. Wenn ja, sind sie parallel oder identisch - wenn nicht, schneiden sie sich oder sind windschief.
Untersuche dann, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben. Wenn ja, sind sie identisch oder schneidend, wenn nein, sind sie parallel oder windschief.
Für "windschief" ist also erforderlich:
verschiedene Richtung und kein gemeinsamer Punkt.
Gruß Abakus
>
> Zu b)
> Da habe ich V=3,18 und A=15,59FE raus. Ist das richtig?
>
> zu c)
> Wie gehe ich die Aufgabe an?
>
> zu d)
> Wie gehe ich diese Aufgabe an? :D
>
> Vielen Dank
> JimK
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
Ah ok. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
[mm] g_{1}: r_{1}=P+t(Q-P)
[/mm]
[mm] g_{2}: r_{2}=R+s(S-R)
[/mm]
Dann sag ich [mm] (r_{2}-r_{1}) \perp [/mm] (Q-P) ; (S-R)
So komme ich auf:
[mm] 1.\vektor{0 \\ 3 \\ 2}+s\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}-t\vektor{1 \\ 2 \\ 2}\circ\vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] 2.\vektor{0 \\ 3 \\ 2}+s\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}-t\vektor{1 \\ 2 \\ 2}\circ\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
1. 0=10-6s-9t
2. 0=-5+6s+6t
Damit errechne ich [mm] t=\bruch{5}{3} [/mm] und [mm] s=-\bruch{5}{6}
[/mm]
Die setze ich in die Geradengleichung ein und wenn die neuen Punkte gleich sind, dann schneiden die geraden sich, richtig?
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
LG JimK
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Hallo JimK,
> Ah ok. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
>
> [mm]g_{1}: r_{1}=P+t(Q-P)[/mm]
> [mm]g_{2}: r_{2}=R+s(S-R)[/mm]
>
> Dann sag ich [mm](r_{2}-r_{1}) \perp[/mm] (Q-P) ; (S-R)
>
> So komme ich auf:
> [mm]1.\vektor{0 \\ 3 \\ 2}+s\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}-t\vektor{1 \\ 2 \\ 2}\circ\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]2.\vektor{0 \\ 3 \\ 2}+s\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}-t\vektor{1 \\ 2 \\ 2}\circ\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}[/mm]
Die Gleichungen müssen doch so lauten:
[mm]1.\left( \ \vektor{0 \\ 3 \\ \red{-}2}+s\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}-t\vektor{1 \\ 2 \\ 2}\ \right)\circ\vektor{1 \\ 2 \\ 2}=0[/mm]
[mm]2.\left( \ \vektor{0 \\ 3 \\ \red{-}2}+s\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}-t\vektor{1 \\ 2 \\ 2} \ \right)\circ\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}=0[/mm]
>
> 1. 0=10-6s-9t
> 2. 0=-5+6s+6t
>
> Damit errechne ich [mm]t=\bruch{5}{3}[/mm] und [mm]s=-\bruch{5}{6}[/mm]
>
> Die setze ich in die Geradengleichung ein und wenn die
> neuen Punkte gleich sind, dann schneiden die geraden sich,
> richtig?
Ja.
>
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> LG JimK
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
Oh, da hab ich von einen Rechenfehler drin und danke für deine Erklärung MathPower.
Jetzt hänge ich aber an der Aufgabe c) fest. Mit der Beziehung der Ebene zum Tetraeder.
Im Prinzip muss ich doch die Geraden jeder Kante aufstellen und mit der Ebene schneiden lassen oder?
LG
JimK
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Hallo JimK,
> Oh, da hab ich von einen Rechenfehler drin und danke für
> deine Erklärung MathPower.
>
> Jetzt hänge ich aber an der Aufgabe c) fest. Mit der
> Beziehung der Ebene zum Tetraeder.
>
> Im Prinzip muss ich doch die Geraden jeder Kante aufstellen
> und mit der Ebene schneiden lassen oder?
Ja.
>
> LG
> JimK
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
Ok, aber wie kann ich jetzt folgende Gleichungen schneiden lassen:
E: x+y+z+a=0
[mm] g_{1}: r=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Kann ich die einfach so gleichsetzen oder muss ich dabei noch etwas beachten?
LG
JimK
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Hallo JimK,
> Ok, aber wie kann ich jetzt folgende Gleichungen schneiden
> lassen:
>
> E: x+y+z+a=0
> [mm]g_{1}: r=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> Kann ich die einfach so gleichsetzen oder muss ich dabei
> noch etwas beachten?
Zunächst hast Du
[mm]x=1+t, \ y= -1+2*t, \ z=1+2*t[/mm]
Setze dies nun in die Ebenengleichung ein.
>
> LG
> JimK
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
Ok, damit bleiben die Parameter a und t übrig. [mm] t=-\bruch{1+a}{5}
[/mm]
Die könnte ich dann in die Geradengleichung einsetzen und würde so einen neuen Punkt ermittel oder?
LG
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Hallo JimK,
> Ok, damit bleiben die Parameter a und t übrig.
> [mm]t=-\bruch{1+a}{5}[/mm]
> Die könnte ich dann in die Geradengleichung einsetzen und
> würde so einen neuen Punkt ermittel oder?
So isses.
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
Und damit müsste ich dann auch den Schnittpunkt haben oder?
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Hallo JimK,
> Und damit müsste ich dann auch den Schnittpunkt haben
> oder?
Ja, den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 27.09.2010 | | Autor: | JimK |
Ok, super und damit hab ich ja auch schon die Abhängigkeit von a diskutiert.
Danke MathePower!!!
Jetzt muss ich nur noch die Aufgabe d) irgendwie lösen.
Hat jemand eine Idee bzw. einen Ansatz?
LG
JimK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 27.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok, super und damit hab ich ja auch schon die Abhängigkeit
> von a diskutiert.
Nicht so voreilig.
Wenn nicht gerade eine spezielle Parallel-Lage vorliegt, wird die Ebene von JEDER Geraden durch zwei Ecken des Tetraeders geschnitten.
Beim Schnitt mit Körperkanten kommt es aber darauf an, dass der Schnittpunkt auf der Strecke ZWISCHEN zwei Eckpunkten und nicht etwa nur auf einer Verlängerung der Körperkanten liegt.
Gruß Abakus
>
> Danke MathePower!!!
>
> Jetzt muss ich nur noch die Aufgabe d) irgendwie lösen.
> Hat jemand eine Idee bzw. einen Ansatz?
>
> LG
> JimK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 28.09.2010 | | Autor: | weduwe |
d) könnte man so angehen:
A liegt auf [mm] g_{PS}, [/mm] B auf [mm] g_{QS} [/mm] und C auf [mm] g_{RS}
[/mm]
dann gilt (1) [mm] A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|
[/mm]
nun bestimmst du die schnittparameter r, s und t der 3 geraden mit E,
setzt in (1) ein und bekommst a.
damit erhalte ich den hübschen wert
[mm] a=2-8\sqrt{\frac{2}{5\sqrt{3}}} [/mm] 
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