Vektorrechnung fehlender Punkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, wieder mal eine knifflige Aufgabe:
geg: regelm. vierseitige Pyramide mit A(7,-5,-3) und S(9,6,z)
SBD Achsendreieck liegt in Ebene...2x-y-2z=-2
ges: fehlende Koordinaten
Mein Lösungsweg ist folgender:
1. Zuerst der fehlende z Wert ermitteln .... ist gemacht somit S(9,6,7)
2. X ermitteln also Schnittpunkt Basisebene der Pyramide mit Normalgeraden dazu durch S .... da fängts schon an ???
3. Wenn X bekannt, dann Punkt A spiegeln, somit erhalte ich C
4. Wenn X bekannt, dann könnte ich auch über Einheits bzw. Normalvektor und Betrag irgendwie B und D ermitteln.
Ist dies der richtige Lösungsweg, oder gibt es da was schlaueres. Ich komme derzeit nicht weiter. Kann mir jemand bitte weiterhelfen. Gary
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 13.01.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo Gary,
> Hallo, wieder mal eine knifflige Aufgabe:
> geg: regelm. vierseitige Pyramide mit A(7,-5,-3) und S(9,6,z)
> SBD Achsendreieck liegt in Ebene...2x-y-2z=-2
> ges: fehlende Koordinaten
Die Vokabel Achsendreieck ist mir nicht ganz klar. Steckt da noch eine bestimmte Information drin?
> 1. Zuerst der fehlende z Wert ermitteln .... ist gemacht
> somit S(9,6,7)
Das war der einfache Part.
Jetzt wird's tatsächlich knifflig, scheint mir.
Jedenfalls von mir auch nur ein paar Ansatzideen, teilweise banal, aber vielleicht versteckt sich ja ein entscheidender Hinweis darin:
> 2. X ermitteln also Schnittpunkt Basisebene der Pyramide
> mit Normalgeraden dazu durch S .... da fängts schon an ???
Die Basisebene fehlt ja noch völlig...
Aber mit AS kennst Du die Kantenlänge, weißt also, wie weit auch B und D (und C) von S entfernt sind (ggf. also auf welchem Kreis um S sie liegen müssen).
Außerdem sind AB und AD gleich lang und stehen senkrecht zueinander.
X ist die Mitte von BD und liegt somit auch in der gegebenen Ebene
BD, AX, XS stehen alle senkrecht zueinander.
Die Anschauung (die freilich trügen kann) des Problems sagt mir, dass der Weg über B und D und deren Abstande zu A und S entscheidend sein müssten...
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 Sa 13.01.2007 | | Autor: | GaryFisher |
Danke vorab, das "Achsendreieck" beschreibt die Ebene über die Punkte BSD. So stehts im Buch. Ist also ein Schnitt durch die Pyramide.
Die Länge aus AS ist eine gute Idee, doch wie komme ich auf den Punkt B, wie auf X ?
Ich hab da keine Lösung? Hast mir noch ein Tipp?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Sa 13.01.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo Gary,
riwe hat völlig recht...
wie simpel... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 13.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Hallo, wieder mal eine knifflige Aufgabe:
> geg: regelm. vierseitige Pyramide mit A(7,-5,-3) und
> S(9,6,z)
> SBD Achsendreieck liegt in Ebene...2x-y-2z=-2
> ges: fehlende Koordinaten
>
> Mein Lösungsweg ist folgender:
> 1. Zuerst der fehlende z Wert ermitteln .... ist gemacht
> somit S(9,6,7)
> 2. X ermitteln also Schnittpunkt Basisebene der Pyramide
> mit Normalgeraden dazu durch S .... da fängts schon an ???
> 3. Wenn X bekannt, dann Punkt A spiegeln, somit erhalte ich
> C
> 4. Wenn X bekannt, dann könnte ich auch über Einheits bzw.
> Normalvektor und Betrag irgendwie B und D ermitteln.
>
> Ist dies der richtige Lösungsweg, oder gibt es da was
> schlaueres. Ich komme derzeit nicht weiter. Kann mir jemand
> bitte weiterhelfen. Gary
ich gehe davon aus, dass das eine quadratische pyramide ist, sonst brauchst eh nichts zu rechnen.
dein ansatz ist schon (so irgendwie) richtig.
dreh- und angelpunkt ist der mittelpunkt der grundfläche M,
sonst brauchst du eigentlich gar nix.
und der ist leicht zu ermitteln wie üblich.
lege eine zu E senkrechte gerade durch A und schneide sie mit E, das ergibt M(1/-2/3).
nun hast du [mm] \overrightarrow{AM}=\vektor{-6\\3\\6} [/mm] und damit |AM|=9.
[mm] \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{AM}\to [/mm] C(-5/1/9)
jetzt mußt du noch die beiden punkte B und D finden, dazu brauchst du einen zu AM und E senkrechten vektor der richtigen länge.
[mm] \overrightarrow{MB}=\lambda\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{MS}=\lambda\vektor{2\\2\\1}
[/mm]
und [mm] \lambda [/mm] berechnest du uber die länge von AM zu [mm] \lambda =\pm [/mm] 3
[mm] \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\lambda\vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
das ergibt B(4/-8/9) und D(-2/4/-3) oder umgekehrt.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, jetzt hab ichs auch geschafft.
Demnach komme ich nun weiter über die Halbierende [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] über den Punkt S zur Halbierenden [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und das skalare Produkt dieser Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{H.AB S} [/mm] und [mm] \overrightarrow{H.BC S} [/mm] müsste dann der Winkel der Seiteflächen ergeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Sa 13.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Vielen Dank, jetzt hab ichs auch geschafft.
> Demnach komme ich nun weiter über die Halbierende
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] über den Punkt S zur Halbierenden
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] und das skalare Produkt dieser
> Richtungsvektoren [mm]\overrightarrow{H.AB S}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{H.BC S}[/mm] müsste dann der Winkel der
> Seiteflächen ergeben.
??? ich nix verstehen
schau einfach ein bißchen weiter oben, wo mein beitrag steht und der kommentar dazu von ardik.
dein weg ist wenn nicht ein irrweg so ein gewaltiger umweg!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Sa 13.01.2007 | | Autor: | GaryFisher |
Danke vielmals. Dies war übrigens nur eine Zusatzaufgabe in der es darum ging, den Winkel der beiden Seitenflächen der Pyramide zu ermitteln.
Dieser Lösungsweg müsste aber stimmen, da das Ergebnis jedenfalls, ich habe es im DreiDGeo nachkonstruiert, stimmen sollte.
Der Lösungsweg zur Ermittlung der fehlenden Koordinaten hat mir sehr geholfen. Danke. Ich war schon auf dem Weg, habe mich aber wieder einmal selbst verunsichert.
Nochmals vielen Dank für die Unterstützung. Gary aus dem Ländle.
|
|
|
|
