Veranschaulichung: Ableitungen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dies hier ist keine Frage, es soll eine Hilfe für andere sein, unter anderem auch dafür Gedacht, damit man anderen Menschen das Ergebnis einer Ableitung an sich besser vermitteln kann.
Also die Ableitung eines Graphen ist als seine Steigung definiert, bzw. als seine Veränderung in jedem Punkt.
Das heißt, wir stellen uns einen Graphen mal aus einzelnen Punkten bestehend vor, besser gesagt aneinander gereihte Kreise, mit einem Strich durch die Mitte (Wie bei einer Billiardkugel). Diese sind jeweils so gedreht, dass sich aus dem Mittelstrich die jeweilige Steigung ablesen lässt/ergibt.
Also z.B. Kreis-Strich-Waagerecht, Steigung-Null
Strich im 45° Winkel zur X-Achse nach oben, Steigung-Eins
Strich im 63.435° Winkel zur X-Achse nach oben, Steigung-Zwei
Steigung im 26.565° Winkel zur X-Achse nach oben, Steigung- Ein Halb
Den jeweiligen Winkel zur Steigung (m) kriegt man schnell über arctan(m) heraus.
So, warum man damit nun die Extrempunkte ausrechnet, sollte noch jedem nachvollziehbar sein. (Spitzen von Bergen und Tälern, keine Steigung).
Kommen wir zur zweiten Ableitung, oder der Veranschaulichung des Wendepunktes.
Wir greifen wieder zurück zu unserer Definition, die Ableitung ist die Veränderung eines Graphen in jedem Punkt. D.h. die zweite Ableitung bezeichnet die Veränderung der Steigung. Das bedeutet die zweite Ableitung ordnet jedem gedachtem Kreis mit Mittelstrich eine Art von Drehimpuls zu!
In einer Zeichnung vllt. veranschaulichbar durch Drehpfeile um den Kreis.
Dieser Impuls wird in der nähe eines Wendepunktes immer schwächer und ist im Wendepunkt selbst Null, danach geht er in die andere Richtung (Vorzeichenwechsel). Wechselt er nicht das Vorzeichen, haben wir unseren sog. Sattelpunkt.
Im übrigen ist damit auch klar, warum für den Extrempunkt die zweite Ableitung ungleich Null ist und kleiner Null einen Hochpunkt ergibt und umgekehrt.
Fällt der Impuls zeitgleich auf Null, müsste sich zwangsläufig wieder ein Sattelpunkt ergeben. (Das veranlasst mich im übrigen zu der Frage, ob das nur geht, wenn die dritte Ableitung auch Null ist, bzw. dies automatisch zur Schlussfolgerung hat; kann sich ja mal jemand Gedanken drüber machen.)
Dreht sich der Punktgraph über einen Berg ist die Steigungsdrehung negativ, ist klar und umgekehrt.
Stelle ich mir vor der Graph wäre eine Straße die ich Mit dem Fahrrad oder Auto abfahre, wäre der Wendepunkt also genau die Stelle, an der ich den Lenker/das Lenkrad in die jew. andere Richtung einschlage. Nach rechts bedeutet hierbei nach unten wodurch klar wird, dass bei einer negativen dritten Ableitung der Wandel von einer Links- zur Rechtskurve vollzogen wird und umgekehrt.
Dieses Vorstellungsspiel könnte man so weiter treiben, allerdings sehe ich dadrin zur Zeit keinen weiteren Sinn, da ich noch nie mehr als einen Wendepunkt ausrechnen musste.
Erkenntnisse und praktischer Nutzen anhand von Beispielen:
Bei uns im Unterricht haben wir unter anderem (Bahn)Verbindungstrassen und eine Minigolfbahn berechnet für den Praxisbezug. Dabei war es für einige schwer nachzuvollziehen wieso bei einem Übergang von zwei Graphen neben der Knicklosigkeit (Übereinstimmung der Steigung) auch die Krümmung (Wendepunkt) übereinstimmen muss.
Nun nach den reichlichen vorangegangenen Überlegungen sollte es jetzt leicht fallen, dies zu beantworten. Da wir für jeden Punkt eine Veränderung der Steigung verzeichnen und der Wendepunkt als ineinander übergehender "sanfter" Lenkungseinschlag definiert ist geht hier die Trasse Reibungslos über, ansonsten würden wir einen Ruck durch mehr oder weniger "heftiges" Lenken bemerken.
In der Golfbahn würde der Ball an der Stelle eine neue Impulseinwirkung erfahren und damit einen Drall(anderer Spin?) kriegen.
So ich hoffe damit einen guten Beitrag geleistet zu haben, bitte um Meinungen und Verbesserungsvorschläge!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:04 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Dies hier ist keine Frage, es soll eine Hilfe für andere sein.
Dann ist es hier irgendwie falsch gelandet. Könnte mir vorstellen, dass es einen Platz in der MatheBank bekommt. Dort verschwindet es auch nicht so schnell im Datensumpf wie die Artikel hier im Forum.
Bei solch langen Texten wäre es vielleicht besser eine sofort ersichtliche Unterteilung vorzunehmen. Man fühlt sich sonst so erschlagen von der Menge.
> ...als seine Steigung definiert,...
Nicht so ganz. Suche ein anderes Wort für definiert, oder beschreibe es etwas anders.
> ...als seine Veränderung in jedem Punkt.
Wie soll sich denn ein Graph in einem Punkt ändern ?
Die Formulierung kannst du so nicht lassen.
> besser gesagt aneinander gereihte Kreise, mit einem Strich durch die Mitte
Hmmm, mir wären die Punkte doch lieber. Mit Pfeilen in Richtung des nächsten Punktes.
> So, warum man damit nun die Extrempunkte ausrechnet, sollte noch jedem nachvollziehbar sein. (Spitzen von Bergen und Tälern, keine Steigung).
Wenn das so trivial wäre, dann würde es dazu nicht soviele Fragen geben.
Das Beispiel etwas ausführen könnte dabei schon helfen.
> ...eine Art von Drehimpuls zu!
Gut.
> Stelle ich mir vor der Graph wäre eine Straße die ich Mit dem Fahrrad oder Auto abfahre.
Das Beispiel vor den Erklärungen zum WP könnte die Sache noch verständlicher machen.
> ...kann sich ja mal jemand Gedanken drüber machen.
Die erste nachfolgende Ableitung [mm] \not= [/mm] 0 entscheidet.
Man untersucht daher in solchen Fällen meist die Vorzeichenwechsel.
> ...damit einen Drall(anderer Spin?) kriegen.
Also ich hätte mir der Vorstellung keine Probleme. Aber möglicherweise bin ich Golfbällen gegenüber auch nur nicht sensibel genug. ;)
> So ich hoffe damit einen guten Beitrag geleistet zu haben.
Klar.
Mal abwarten was Andere meinen, wo der Artikel hin soll.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mo 10.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Differentialrechnung ist erfunden worden (Newton) um über so was wie momentane Geschwindigkeit eines Körpers zu reden, und natürlich momentane Beschleunigung.
Wenn du jetzt wieder zu nem makroskopischen Bild (Kreise mit Pfeilen, einzelne Punkte) zurückgehst ist genau der Grenzwertbegriff weg. Du kannst gleich deine Funktion auf stückweise -wenn auch kurze- . Geradenstücke zurückführen.
Für viele praktische Zwecke kann man das, aber es führt genau an dem - zugegeben schwierigen- Begriff der Differential und Integralrechnung vorbei.
Ein Veranschaulichung wäre mit kleinen physikalischen Kenntnissen, (Geschw. Beschl. richtiger. Dabei muss man wie in Mathe darauf eingehen, dass man von den messbaren Durchschnittsgeschw. (mathematisch SehnenSteigungen) ausgeht um eine "Momentangeschw." -math. Steigung in einem Punkt- zu efinieren. Man muss deutlich auseinanderhalten, dass man die Momentangeschw. DEFINIERT genau wie die Steigung einer Funktion, bzw. deren "momentane" Änderung.
Deshalb hilfst du vielleicht einem GK Schüler, mit den Anwendungen der Differentialrechnung eine Vorstellung zu verbinden, nicht aber für ein Verständnis der eigentlichen Idee.
(Deine Strasse kann man aus lauter kleinen Geradenstücken zusammensetzen, wenn sie 2cm lang sind merkt keiner den Unterschied.)
Gruss leduart
|
|
|
|
