Vereinfachung einer quad. Gl. < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Vyse |
| Aufgabe | [mm] \bruch{2z+1}{z^{2}-4} [/mm] = [mm] \bruch{z+3}{z^{2}-3z+2}
[/mm]
a) Bestimmen Sie ihren Definitionsbereich
b) Machen Sie die Gleichung nennerfrei (mit kgV der Nenner multiplizieren) und bestimmen Sie die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung. |
a) z [mm] \subset \IR \backslash [/mm] {-2;2;1}
Wahrscheinlich ist die Syntax der Angabe für den Definitionsbereich auch
nicht ganz korrekt.
b)
Hier liegt mein Anliegen um eine Lösungshilfe.
Mir schien die Aufgabe zu Beginn recht simpel und dennoch vermochte
ich sie auch nach langem herumprobieren nicht zu lösen.
Ich denke, dass der Fehler irgendwo zu beginn in einer versäumten
Vereinfachung liegt, woraus sich wahrscheinlich diese unnötig komplexen Terme ergaben.
Mein Lösungsversuch:
[mm] \bruch{2z+1}{z^{2}-4} [/mm] = [mm] \bruch{z+3}{z^{2}-3z+2} [/mm] / [mm] *(z^{2}-3z+2)
[/mm]
[mm] (z^{2}-3z+2)*\bruch{2z+1}{z^{2}-4} [/mm] = z+3 / [mm] *(z^{2}-4)
[/mm]
[mm] (z^{2}-3z+2)*(2z+1) [/mm] = [mm] (z+3)*(z^{2}-4) [/mm] / ausmultiplizieren
[mm] 2z^{3}+z^{2}-6z^{2}-3z+4z+2 [/mm] = [mm] z^{3}-4z+3z^{2}-12
[/mm]
[mm] z^{3} [/mm] - [mm] 5z^{2}+z+2 [/mm] = [mm] 3z^{2}-4z-12 [/mm] / -4z-12
[mm] z^{3} [/mm] - [mm] 5z^{2}+5z+14 [/mm] = [mm] 3z^{2} [/mm] / [mm] -3z^{2}
[/mm]
[mm] z^{3} [/mm] - [mm] 8z^{2}+5z+14 [/mm] = 0
Man könnte evtl. noch ausklammern, danach
brachte mich keine weitere Überlegung zu einer
noch einfacheren Form.
[mm] z(z^{2}-8z+5)+14 [/mm] = 0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:06 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Vyse |
Hallo, vielen Dank für die Antwort ^_^
Die Aufgabe konnte ich so mit Leichtigkeit lösen.
Ich übersehe wohl zu schnell, dass man gewisse
Terme in solche Faktoren zerlegen kann, wird man dann darauf hingewiesen, erscheint es natürlich als offensichtlich. <_<
Die Gleichung lässt sich noch wie folgt vereinfachen und lösen:
[mm] 2z^{2}-z-1 [/mm] = [mm] z^{2}+5z+6 [/mm] / [mm] -z^{2},-5z-6
[/mm]
[mm] z^{2}-6z-7 [/mm] = 0
[mm] D=6^{2}-(-28)=64
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{6+8}{2}=7
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{6-8}{2}=-1
[/mm]
Grüsse, Vyse
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