Vereinfachung komplexer Zahl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 03.07.2005 | | Autor: | Caitunit |
Hallo zusammen ...
Sind grad über eine Aufgabe gestolpert, die uns kopfzerbrechen bereitet ... Wäre schön wenn uns jemand dabei helfen könnte ...
Die folgende Aufgabe ist zu Vereinfachen und in kartesischer Form darzustellen:
[mm] z_1=\bruch{5-2j}{3+4j}\cdot e^{\bruch{-j pi}{2}}
[/mm]
Vielen Dank schonmal im Vorraus ... !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 03.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo catuinit!
Keine eigenen Ideen / Lösungsansätze?
Hier zwei kurze Tipps:
[1.] EULER'sche Formel: [mm] $e^{j*\varphi} [/mm] \ = \ [mm] \cos(\varphi) [/mm] + [mm] j*\sin(\varphi)$
[/mm]
[2.] Um den Bruch zu vereinfachen bzw. zusammenfassen zu können, einfach mal mit dem Konjugierten des Nenners erweitern (Stichwort: 3. binomische Formel!) ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 03.07.2005 | | Autor: | Caitunit |
Hi Loddar ...
Erstmal danke für die super schnelle Antwort.
Das mit der Euler'schen Zahl und dem konjugiert komplexen wert habe ich soweit wohl verstanden. Nur in der Anwendung hakt es noch ein wenig.
Also Ausgangspunkt war ja:
[mm] z_1=\bruch{5-2j}{3+4j}\cdot e^{\bruch{-j pi}{2}}
[/mm]
Wenn ich mit dem Konjugiert komplexen Wert multipliziere und komme ich auch die folgende Gleichung:
[mm] z_1=\bruch{(5-2j)(3-4j)}{(3+4j)(3-4j} \cdot \cos(\bruch{pi}{2}) [/mm] - [mm] j\cdot \sin(\bruch{pi}{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=\bruch{7-26j}{25} \cdot \cos(\bruch{pi}{2}) [/mm] - [mm] j\cdot \sin(\bruch{pi}{2})
[/mm]
Oder gibts bis dahin schon ein paar Denkfehler??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 03.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Caitunit!
> Wenn ich mit dem Konjugiert komplexen Wert multipliziere
> und komme ich auch die folgende Gleichung:
>
> [mm]z_1=\bruch{(5-2j)(3-4j)}{(3+4j)(3-4j} \cdot \cos(\bruch{\pi}{2}) - j* \sin(\bruch{\pi}{2})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Klammern setzen um den Ausdruck der EULER-Form nicht vergessen!
Außerdem beträgt der Winkel [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] , da [mm] $e^{\red{-} \ j*\bruch{\pi}{2}}$ [/mm] !!
Das Vorzeichen innerhalb der EULER-Formel bleibt unverändert bei "+" ...
[mm]z_1=\bruch{(5-2j)*(3-4j)}{(3+4j)*(3-4j)} \cdot \red{\left[}\cos\left(\red{-}\bruch{\pi}{2}\right) \red{+} j*\sin\left(\red{-}\bruch{\pi}{2}\right)\red{\right]}[/mm]
> [mm]\Rightarrow z_1=\bruch{7-26j}{25} \cdot \cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] - [mm]j\cdot \sin(\bruch{\pi}{2})[/mm]
Siehe oben mit den Klammern und Vorzeichen!
Der Bruch ist richtig berechnet.
Und was erhält man für die Ausdrücke [mm] $\cos\left(-\bruch{\pi}{2}\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\sin\left(-\bruch{\pi}{2}\right)$ [/mm] ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Caitunit |
[mm] z_1=\bruch{7-26j}{25} \cdot{\left[}\cos\left({-}\bruch{\pi}{2}\right){+}j\cdot{}\sin\left({-}\bruch{\pi}{2}\right){\right]}
[/mm]
Wenn ich jetzt für [mm] \cos\left({-}\bruch{\pi}{2}\right)=0 [/mm] und für [mm] \sin\left({-}\bruch{\pi}{2}\right)=(-1) [/mm] einsetze komme ich auf folgende Gleichung:
[mm] z_1=\bruch{7-26j}{25} \cdot{\left[}0{+}(-1)j{\right]}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=\bruch{7-26j}{25}\cdot{(-j)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=\bruch{(-7j)-(-26j^2)}{25}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=-\bruch{26}{25}-\bruch{7}{25}j
[/mm]
Hoffe diesmal bin ich mit den Vorzeichen ein wenig besser umgegangen ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Caitunit !
> [mm]\Rightarrow z_1=-\bruch{26}{25}-\bruch{7}{25}j[/mm]
>
> Hoffe diesmal bin ich mit den Vorzeichen ein wenig besser
> umgegangen ...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Jetzt stimmt's ...
Gruß
Loddar
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