Vereinigung halboff. Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 20.10.2013 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
folgendes:
es sei $ [mm] \mathcal{A}(]a,b]) [/mm] $ das Mengensystem, das aus allen endlichen Vereinigungen $ A = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} ]a_j,b_j]$, [/mm] $ n [mm] \in \IN [/mm] $, von halboffenen Intervallen [mm] $]a_j,b_j] [/mm] $ besteht.
Nun wird in meinem Skript erwähnt, dass sich jedes solche $ A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] als eine endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Intervallen $ [mm] ]a_j;´, b_j] [/mm] $ schreiben lässt.
Ich bin mir nur nicht ganz sicher, wie das so einfach zu folgern ist.
Folgt das unmittelbar aus der Tatsache, dass ich paarweise nicht disjunkte Intervalle einfach disjunkt zerlegen kann? Also für zwei halboffene Intervalle $ I, J $ der Form [mm] $]a_i,b_j] [/mm] $ ist
$ I [mm] \cup [/mm] J = (I [mm] \setminus [/mm] J) [mm] \cup [/mm] J $
Ist das die Antwort?
Würde mich über eine Rückmeldung oder Hinweise sehr freuen.
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:32 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> folgendes:
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> es sei [mm]\mathcal{A}(]a,b])[/mm] das Mengensystem, das aus allen
> endlichen Vereinigungen [mm]A = \bigcup_{j=1}^{n} ]a_j,b_j][/mm], [mm]n \in \IN [/mm],
> von halboffenen Intervallen [mm]]a_j,b_j][/mm] besteht.
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> Nun wird in meinem Skript erwähnt, dass sich jedes solche
> [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] als eine endliche Vereinigung von
> paarweise disjunkten Intervallen [mm]]a_j;´, b_j][/mm] schreiben
> lässt.
>
> Ich bin mir nur nicht ganz sicher, wie das so einfach zu
> folgern ist.
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> Folgt das unmittelbar aus der Tatsache, dass ich paarweise
> nicht disjunkte Intervalle einfach disjunkt zerlegen kann?
> Also für zwei halboffene Intervalle [mm]I, J[/mm] der Form
> [mm]]a_i,b_j][/mm] ist
>
> [mm]I \cup J = (I \setminus J) \cup J[/mm]
>
> Ist das die Antwort?
Nicht ganz.
Zeige imit Induktion nach n:
Ist $ A = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} ]a_j,b_j] [/mm] $, so ex. halboffene Intervalle [mm] I_1,...,I_m [/mm] mit:
[mm] I_1,...,I_m [/mm] sind paarweise disjunkt
und
$ A = [mm] \bigcup_{j=1}^{m} I_j [/mm] $
Für den Schrit n [mm] \to [/mm] n+1 benötigst Du [mm]I \cup J = (I \setminus J) \cup J[/mm]
FRED
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> Würde mich über eine Rückmeldung oder Hinweise sehr
> freuen.
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> Viele Grüße,
> ChopSuey
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