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Verhalten für X->oo: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:10 Di 02.02.2010
Autor: manolya

Aufgabe
[mm] \lim_{x \to \infty} 18*arctan*\bruch{x}{3} [/mm]

Morgen :)

wie bestimmte ich das Grenzwertverhalten dieser Funktion??

Danke im Voraus

Gruß

        
Bezug
Verhalten für X->oo: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Di 02.02.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

also entweder weisst du, dass

[mm] $\lim_{x\to\infty} \arctan(x) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] ist, oder du zeigst halt in einzelnen Schritten:

1.) [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ist monoton steigend
2.) [mm] $\sup_{x\in\IR}(\arctan(x)) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm]

MFG,
Gono.

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Verhalten für X->oo: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 02.02.2010
Autor: manolya

Ich stehe auf 'm Schlauch... also die oben genannten Schritte sind doch für das "normale" arctan... wie kann ich das auf meine Fkt beziehen.. ich muss ja auf 18 bzw. x/3 beachten ???
Bezug
                        
Bezug
Verhalten für X->oo: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Di 02.02.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Ich stehe auf 'm Schlauch... also die oben genannten
> Schritte sind doch für das "normale" arctan... wie kann
> ich das auf meine Fkt beziehen.. ich muss ja auf 18 bzw.
> x/3 beachten ???

Na, den Faktor 18 darfst du doch vor den Limes ziehen. Und was ändert der Faktor $1/3$ am Grenzwert?

Viele Grüße
   Rainer


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Bezug
Verhalten für X->oo: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Di 02.02.2010
Autor: manolya

Der Wert 1/3 bewirkt, dass die Funktion steiler verläuft... oder?

Bezug
                                        
Bezug
Verhalten für X->oo: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Der Wert 1/3 bewirkt, dass die Funktion steiler
> verläuft... oder?

Nein, sie verläuft dadurch "flacher". Wenn ich in arctan(x) den Wert a eingesetzt habe und dadurch arctan(a) = b erhalten habe, muss ich bei arctan(x/3) das Dreifache des vorher eingesetzten Wertes a, also 3a einsetzen, damit ich wieder b erhalte: arctan(3a/3) = arctan(a) = b.

Das bedeutet, die Funktion wird um den Faktor 3 entlang der x-Achse gestreckt (ausgehend vom Koordinatenursprung).

Das hat aber alles nichts mit dem Grenzverhalten zu tun!
Die Funktion wird ja nur entlang der x-Achse gestreckt, nicht aber entlang der y-Achse!
Das bedeutet, dass die Funktion arctan(x/3), "wenn ich nur lange genug warte, d.h. statt a eben 3a einsetze", für [mm] x\to\infty [/mm] immer noch jeden Wert erreicht wie vorher arctan(x).

Deswegen gilt [mm] $\lim_{x\to\infty}arctan(x/3) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}arctan(x) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}.$ [/mm]

Grüße,
Stefan

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