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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Sa 29.01.2011 | | Autor: | allamaja |
| Aufgabe | c) (2):
Gegeben sind f(x)= [mm] e^x*(x^2-3) [/mm] und [mm] g(x)=-2x*e^x
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Graph von g für x<-3 stets zwischen dem Graphen von f und der x-Achse liegt. |
Hallo, ich habe keine Idee, wie ich das beweisen soll.
Beide Graphen streben gegen Null und ich muss ja zeigen, dass g immer zwischen f und der x-Achse verläuft.
Aber wenn beide irgendwann bei Null sind, kann man doch nicht sagen, dass g dazwischen ist, oder?
Ich hoffe jemand kann mir hierbei helfen.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo allemaja!
Zeige, dass $d(x) \ = \ f(x)-g(x)$ im genannten Bereich positiv (sprich: $... \ > \ 0$) ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 29.01.2011 | | Autor: | allamaja |
Okay, vielen Dank,
also dann habe ich ja d(x)= [mm] e^x(x^2-3+2x)
[/mm]
aber wie fahre ich dann fort, soll ich dann -3 für x einsetzen und schauen, ob was positives rauskommmt?
Ich habe noch eine Frage, undzwar, wenn ich beispielsweise bei f(x) die Nullstellen ausrechne, kriege ich zwei Ergebnisse 1,73 und -1,73.
Wenn ich aber das Verhalten dieser Funktion gegen minus unendlich untersuche, dann kommt jedoch Null raus. Aber dann heißt das doch, dass die Funktion irgendwann die x-Achse schneidet und man eine dritte Nullstelle hat. Wieso wird die nicht sofort berechnet, wenn ich f(x)=0 setze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo allamaja!
> also dann habe ich ja d(x)= [mm]e^x(x^2-3+2x)[/mm]
Bestimme hiervon die Nullstellen und untersuche die Intervalle für $d(x) \ > \ 0$ .
> Wenn ich aber das Verhalten dieser Funktion gegen minus
> unendlich untersuche, dann kommt jedoch Null raus. Aber
> dann heißt das doch, dass die Funktion irgendwann die
> x-Achse schneidet und man eine dritte Nullstelle hat.
Nein, die Funktion nähert sich der x-Achse für [mm] $x\rightarrow -\infty$ [/mm] beliebig nahe an, berührt oder schneidet diese aber nie wieder.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 29.01.2011 | | Autor: | allamaja |
Also die Nullstellen sind 1 und -3, aber irgendwie komme ich gerade nicht weiter .. :(
kann man denn nicht einfach sagen, dass die beiden Graphen sich nicht mehr schneiden und der Graph f immer höher ist, als g, wenn man einen beliebigen Punkt nimmt und ihn einsetzt?
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Hallo,
ich klink mich hier mal mit ein!
Mit den Nullstellen 1 und -3 hast du recht!
Deine Funktion d(x) hat somit eben diese Nullstellen und du musst zeigen, dass für x<-3 gilt: d(x)>0
Denn daraus folgt dann, dass der Graph der Funktion f oberhalb dem Graphen zur Funktion g liegt.
Und um zu zeigen, dass d(x)>0 ist, genügt es, den quadratischen Term zu betrachten, da [mm] e^{x} [/mm] ohnehin positiv ist, d.h. du musst zeigen dass [mm] x^{2}+2x-3>0 [/mm] für x<-3.
Dieses Vorgehen entspricht auch genau deinem Vorschlag, "einen beliebigen Punkt" einzusetzen, denn das würde bedeuten, für allgemeines x (bzw. zumindest für x<-3) zu zeigen, dass d(x)>0.
Gruß,
MaTEEler
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