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| Aufgabe | Das Diagramm zeigt, wie sich bei einer Insektenart die Merkmale M1 und M2 vererben.
(a) Ermitteln sie die Übergangsmatrizen für 1 Zeiteinheit, 2 Zeiteinheiten und 3 Zeiteinheiten
(b) Es sei [mm] \vec{x_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0,7 \\ 0,3} [/mm] die Anfangsverteilung der Merkmale. Welche Verteilung ergibt sich nach 3 Zeiteinheiten?
(c) Ermitteln Sie dine Gleichgewichtsverteilung und interpretieren Sie das Ergebnis. |
Hallo,
ich habe dazu ein paar Fragen, obwohl ich einiges auch schon alleine geschafft habe.
Zu Aufgabe a hatte ich folgende Matrix aufgestellt:
A = [mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 }
[/mm]
Heißt für 2 Zeiteinheiten A*A = [mm] A^{2} [/mm] ?
Aber wie berechnet man das? Ich steh grad i-wie voll auf dem Schlauch. Wie potenziert man Matrizen? Ist klar: multiplizieren. Aber wie geht das?
Zu Aufgabe b habe ich folgenden Ansatz
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] A^{3} [/mm] * [mm] \vec{x_{0}} [/mm]
Aber ich weiß ja nicht wie man Matrizen multipliziert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Leider fangen wir gerade erst mit Matrizen an, so dass ich dir leider nicht sagen kann, ob deine Ansätze korrekt sind; hört sich aber sehr nachvollziehbar an :)
Ich hab mir das Multiplizieren von Matrizen neulich anhand von folgendem Video angeeignet:
![[]](/images/popup.gif) Matrizen multiplizieren
Finde das auch ganz nett mit dem Schema, da man dann nicht so leicht mit den Zeilen und Spalten durcheinander kommt; hoffe ich konnte wenigstens ein wenig helfen ;)
Lg
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Wow. Wie genial ist das denn? Auf die Idee in YouTube zu gucken wäre ich nie gekommen. Vielen Dank !!
Ich bin damit so weit gekommen:
[mm] A^{2} =\pmat{ 0,7 & 0,3 \\ 0,45 & 0,55 }
[/mm]
[mm] A^{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 0,65 & 0,35 \\ 0,525 & 0,475 }
[/mm]
Zu Aufgabe b:
Nach drei Zeiteinheiten:
[mm] \vektor{0,6125 \\ 0,3875 }
[/mm]
Ist das richtig?
Und zu Aufgabe c:
[mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 } [/mm] * [mm] \vektor{x 1\\ x2} [/mm] = [mm] \vektor{x 1\\ x2}
[/mm]
Ich habe das dann umgeformt in:
[mm] \vektor{0,8 x_{1} + 0,3 x_{2} = x_{1}\\ 0,2x_{1} + 0,7x_{2} = x_{2} }
[/mm]
Und das dann in:
[mm] \pmat{ -2 & 3 & 0 \\ 0 & -5 & 0 }
[/mm]
Aber dann weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo kleine_Frau,
Deine Überlegungen sind richtig für die Bestimmung der Übergangsmatrizen und auch der Wert für die Verteilung nach dem dritten Zeitschritt ist okay. Auch die Gleichung für die Gleichgewichtsbedingung ist okay, nimm doch einfach die erste Zeile, löse sie nach x1 auf und setze das Ganze in die zweite Zeile ein, vergiss aber die Randbedingung nicht, dass beide Ereignisse zusammen wieder 1 ergeben müssen. Setzt Du
$$ [mm] x_1 [/mm] = 1 - [mm] x_2$$ [/mm] und gehst damit in die erste Zeile, liefert Dir das
$$ [mm] x_1 [/mm] = 0,8 - 0,5 [mm] x_2 \, [/mm] . $$
Somit kann man [mm] x_2 [/mm] in der zweiten Zeile ausrechnen und daraus dann [mm] x_1 [/mm].
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Nimm doch einfach die erste Zeile, löse sie nach x1 auf und setze das Ganze in die zweite Zeile ein, vergiss aber die Randbedingung nicht, dass beide Ereignisse zusammen wieder 1 ergeben müssen.
Setzt Du [mm]x_1 = 1 - x_2[/mm] und gehst damit in die erste Zeile, liefert dir das [mm]x_1 = 0,8 - 0,5 x_2 \, .[/mm]
Somit kann man [mm]x_2[/mm] in der zweiten Zeile ausrechnen und daraus dann [mm]x_1 [/mm].
Hallo,
das bekomm ich irgendwie nicht hin.
[mm] \pmat{ -2 & 3 & 0 \\ 0 & -5 & 0 } [/mm]
Demnach erhalte ich aus Zeile 1:
-2x1 + 3x2 = 0
Also ist x1 = 1,5 x2
Das kann ich quasi gar nicht in Zeile zwei einsetzen, weil in Zeile zwei x1 Null mal auftritt.
Ich bin verzweifelt :-(
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Wir haben die 3 Gleichungen:
I [mm]0,8x_{1}+0,3x_{2}=x_{1}[/mm]
II [mm]0,2x_{1}+0,7x_{2}=x_{2}[/mm]
III [mm]x_{1}+x_{2}=1[/mm]
Gleichung I umgeformt ist:
I' [mm] 0,3x_{2}=0,2x_{1}
[/mm]
Gleinung III umgeformt ist:
III' [mm] x_{1}=1-x_{2}
[/mm]
dann III' in I':
[mm] 0,3x_{2}=0,2-0,2x_{2} \Rightarrow x_{2}=0,4 \Rightarrow x_{1}=0,6
[/mm]
Gruss Mr._Calculus
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Hallo,
meiner Meinung nach ist die Antwort falsch, jedenfalls nach dem Ansatz.
Es gilt doch "Zeile" mal "Spalte" bei der Multiplikation.
So würde sich für mich bei Teilaufgabe b) ergeben:
[mm]\pmat{ 0,65 & 0,35 \\ 0,525 & 0,475 }*\vektor{0,7 \\ 0,3}=\vektor{0,65*0,7+0,35*0,3 \\ 0,525*0,7+0,475*0,3}=\vektor{0,56 \\ 0,51}[/mm]
Allerdings ist der Anstaz nicht korrekt. Es müsste doch sein:
[mm]\pmat{ 0,7 & 0,3 }*\pmat{ 0,65 & 0,35 \\ 0,525 & 0,475 }=\pmat{ 0,6125 & 0,3875 }[/mm]
Die Ergebnisse sind zwar gleich aber auf anderem Wege erreicht.
zu c) ergeben sich nach "Zeile" mal "Spalte" dann:
[mm] 0,8x_{1}+0,3x_{2}=x_{1}
[/mm]
[mm] 0,2x_{1}+0,7x_{2}=x_{2}
[/mm]
und wie richtig vorgeschlagen mit der 3. Gleichung
[mm] x_{1}+x_{2}=1
[/mm]
lässt sich das lösen.
Gruss
Mr._Calculus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 So 30.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der Vorschlag zur Linksmultiplikation von Mr. Calculus funktioniert auch, man bekommt dann eine 1X2-Matrix als Ergebnis heraus. Die andere Methode besteht darin, mit dem Vektor der Verteilungswahrscheinlichkeiten zu arbeiten, dann muss die Übergangsmatrix jedoch transponiert werden, bevor ausmultipliziert wird.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 29.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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