Verkettung von Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:59 Mo 18.04.2011 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion h durch einen Funktionsterm t(x). Schreiben Sie h als nicht-triviale Verkettung zweier Funktionen k und l.
t(x) = x |
Ich wollte nun die Verkettung von k o l(x) = t(x) machen
aber egal wie ich es angehe die Verkettung ist trivial.
Wer kann mir eine Idee geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mo 18.04.2011 | | Autor: | gfm |
> Gegeben sei die Funktion h durch einen Funktionsterm t(x).
> Schreiben Sie h als nicht-triviale Verkettung zweier
> Funktionen k und l.
>
> t(x) = x
> Ich wollte nun die Verkettung von k o l(x) = t(x) machen
> aber egal wie ich es angehe die Verkettung ist trivial.
>
> Wer kann mir eine Idee geben?
Was heißt denn "trivial"?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 18.04.2011 | | Autor: | low_head |
ich weiß es nicht genau, aber ich denke, dass es einen Unterschied machen muss ob ich nun k o l(x) oder l o k(x) verkette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 19.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hey,
echt knifflig die Aufgabe. Wenn du irgendwann mal an die Lösung kommst - poste sie doch bitte mal. Würde mich schon sehr interessieren, ob es zwei nicht-triviale Funktionen [mm]k(x)[/mm] und [mm]l(x)[/mm], sodass [mm]k(l(x))=x[/mm].
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> echt knifflig die Aufgabe. Wenn du irgendwann mal an die
> Lösung kommst - poste sie doch bitte mal. Würde mich
> schon sehr interessieren, ob es zwei nicht-triviale
> Funktionen [mm]k(x)[/mm] und [mm]l(x)[/mm], sodass [mm]k(l(x))=x[/mm].
ich finde die Aufgabenstellung schlecht, ansonsten findet man leicht Beispiele, wenn etwa das Bild von [mm] $l\,$ [/mm] eine echte Teilmenge des Definitionsbereichs von [mm] $k\,$ [/mm] ist.
(Nebenbei: [mm] $l\,$ [/mm] muss notwendigerweise injektiv sein, denn aus [mm] $l(a)=l(b)\,$ [/mm] folgt [mm] $a=k(l(a))=k(l(b))=b\,.$ [/mm] Die Injektivität von [mm] $k\,$ [/mm] braucht man nicht, siehe auch das unten aufgeführte Beispiel.)
Beispiel:
Betrachte [mm] $l:\{1,2,3,4\} \to \{1,4,9,16\}$ [/mm] mit [mm] $l(x)=x^2\,.$ [/mm] Setze $k: M [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] fest durch [mm] $k(y)=\sqrt{y}\,,$ [/mm] wobei $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] irgendeine Teilmenge derart sei, dass [mm] $\{1,4,9,16\} \subseteq [/mm] M [mm] \subseteq [0,\infty)\,.$
[/mm]
Ähnliche Beispiele kann man sehr schnell kontruieren, sogar auf noch viel komplexere Arten und Weisen. (Je nach [mm] $M\,$ [/mm] macht $l [mm] \circ [/mm] k$ keinen Sinn!)
Und ein anderes Beispiel, wo man $l [mm] \circ [/mm] k [mm] \not= [/mm] k [mm] \circ [/mm] l$ hat:
Betrachte $k: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $k(x)=x^2$ [/mm] und $l: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $l(y)=\sqrt{y}\,.$
[/mm]
Hier ist [mm] $l(k(x))=\sqrt{x^2}=|x|\,,$ [/mm] also [mm] $\not=x$ [/mm] für alle $x < 0$ (betrachte etwa [mm] $x=-1\,$), [/mm] aber
[mm] $$k(l(y))=\sqrt{y}^2=y$$ [/mm]
für alle $y [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mi 20.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Marcel,
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") . Vielen Dank. Da habe ich doch etwas zu einseitig überlegt.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Di 19.04.2011 | | Autor: | gfm |
> ich weiß es nicht genau, aber ich denke, dass es einen
> Unterschied machen muss ob ich nun k o l(x) oder l o k(x)
> verkette
[mm] (\tan\circ\arctan)(x)=x
[/mm]
[mm] (\arctan\circ\tan)(x+k\pi)=x
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Di 19.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist immer noch nicht klar was "trivial" ist
für mich wäre trivial k(x)=x und l(x)=x
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Di 19.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bin jetzt von low_heads Angabe ausgegangen, also, dass "nicht-trivial" bedeutet [mm]k(l(x))\neq{l(k(x))}[/mm]. Für [mm]k(l(x))={l(k(x))}[/mm] fallen einem ja unendlich viele Möglichkeiten ein.
Gruß
barsch
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