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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 20.06.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Gegeben sei in [mm] \IQ \times \IQ [/mm] die Verknüpfung [mm] \* [/mm] mit
(a,b) [mm] \* [/mm] (c,d) := (a * c , a * d+b)
Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften
a) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IQ: a\*b [/mm] = [mm] b\*a
[/mm]
b) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IQ: (a\*b)\*c [/mm] = [mm] a\*(b\*c)
[/mm]
c) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IQ \forall [/mm] a [mm] \in \IQ: e\*a [/mm] = a
d) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] \ {1} [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in \IQ: [/mm] a' [mm] \* [/mm] a = e
auf die Verküpfung [mm] \* [/mm] zutreffen (nicht zutreffen).
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Hallo,
also ich weiß schonmal das eine nicht zutrifft - der Rest trifft zu,teils aber nur unter Einschränkungen.
Aber wie ich das jetzt beweisen soll, weiß ich nicht so genau.
Wo zB nehme ich das c für die Verknüfung her, wenn ich prüfe, ob a) zutrifft oder nicht?
Danke für eure Bemühungen und Hilfe schonmal iom Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das ist eine seltsame Aufgabenstellung. Ich würde sie so interpretieren:
a) zeige, dass für alle rationallen a und b gilt: (a,0)*(b,0)=(b,0)*(a,0), wobei * die angegebene Verknüpfung ist.
Und bei b)-d) analog vorgehen - die Zweite Koordinate als 0 annehmen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 21.06.2007 | | Autor: | annklo |
Ich hab jetzt:
a) (a,0) [mm] \* [/mm] (b,0) = (b,0) [mm] \* [/mm] (a,0)
[mm] \gdw [/mm] (ab,0) = (ab,0)
b) ((a,0) [mm] \* [/mm] (b,0)) [mm] \* [/mm] (c,0) = (a,0) [mm] \* [/mm] ((b,0) [mm] \* [/mm] (c,0))
[mm] \gdw [/mm] (abc,0) = (abc,0)
c) (e,0) [mm] \* [/mm] (a,0) = (a,0)
[mm] \gdw [/mm] (ea,0) = (a,0) [wenn e [mm] \in \IN_{1} [/mm] ] [mm] \gdw [/mm] (a,0)=(a,0)
d) (a',0) [mm] \* [/mm] (a,0) =e
[mm] \gdw [/mm] (a'a,0)= (e,0) geht nicht
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bevor ich die Aufgabe so abgäbe, würd ich nochmal rückfragen, ob nicht doch a,b aus [mm] \IQ\ [/mm] times [mm] \IQ [/mm] sein sollte:
auch ich denke, wie angela, dass de Aufgabe sonst sinnlos ist.
übrigens d) ist doch erfüllt, da versteh ich deine Schlussfolgerung nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 22.06.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | 2.1. Sei A eine nichtleere Menge. Eine Abbildung [mm] \*: [/mm] A [mm] \times [/mm] A [mm] \to [/mm] A heißt (gelegentlich) Verknüpfung in A.
Gegeben sei in [mm] \IQ [/mm] die Verknüpfung [mm] \* [/mm] mit
a [mm] \* [/mm] b := a + b - a * b
(a * b ist das übliche Produnkt von rationalen Zahlen a und b)
Zeigen Sie:
a) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IQ: [/mm] a [mm] \* [/mm] b = b [mm] \* [/mm] a
b) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IQ: [/mm] (a [mm] \* [/mm] b) [mm] \* [/mm] c = a [mm] \* [/mm] (b [mm] \* [/mm] c)
c) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IQ \forall [/mm] a [mm] \in \IQ: [/mm] e [mm] \* [/mm] a = a
d) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] \ {1} [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in \IQ [/mm] : a' [mm] \* [/mm] a = e
(Kurz: [mm] \* [/mm] ist eine kommutative (a), assoziative (b) Verknüpfung mit (c) neutralem Element e. Ferne (d): Jede von 1 verschiedene rationale Zahl a besitzt ein inverses Element a'.)
2.2. Gegeben sei in [mm] \IQ \times \IQ [/mm] die Verknüpfung [mm] \* [/mm] mit
(a,b) [mm] \* [/mm] (c,d) := (a * c , a *d + b)
Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften a), b), c), d) aus 2.1. auf die Verknüpfung [mm] \* [/mm] zutreffen ( nicht zutreffen). |
So lautet die Aufgabe haargenau... Ist das so was anderes? Tut mir Leid, falls ich eure Zeit mit einer falschen Aufgabe vergeudet haben sollte! Ich kann da immer noch nicht mehr mit anfangen...
Danke für die Unterstützung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja die richtigen Aufgaben sind ganz was anderes.
statt der "normalen" Multiplikation, der rationalen Zahlen wird eine neue "Multiplikation" versucht.
besser man nimmt nicht dasselbe Zeichen, sondern schreibtfür die Normale Mult. * für die neue [mm] \otimes
[/mm]
dann ist also [mm] a\otimesb=a+b-ab
[/mm]
jetzt für a) [mm] a\otimesb [/mm] danach [mm] b\otimesa [/mm] ausrechnen, nachsehen ob es dasselbe ist.
entsprechend mit [mm] (a\otimesb)\otimesc [/mm] und [mm] a\otimes(b\otimesc)
[/mm]
usw.
dasselbe musst du nun in 2.2 mit Zahlenpaaren machen,
für b) musst du noch eins dazuerfinden , also (e,f)
einfacher wär es die Paare (a1,a2) (b1,b2) usw zu nennen.
(sowas ist immer erlaubt, und man muss nicht durchs ganze Alphabet, und weiss immer, wlches grad der hintere und vordere im Paar ist.
Probiers jetzt mal, wenn du unsicher bist schick es uns.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 22.06.2007 | | Autor: | annklo |
ich dachte das mit dem zeichen wäre klar... mein pc oder das programm hier wandelt nur das * nicht um in den mittelpunkt - aber das neue zeichen wird mit schrägstrich* geschrieben und ist mittig [mm] \* [/mm] .
2.1 muss ich gar nicht machen- nur 2.2 ... aber was genau da jetzt von mir verlangt wird weiß ich nicht-immer noch nicht:-( war das mit dem einsetzten der 0 in den Hinterenteil falsch? was wird denn aus a [mm] \* [/mm] b = b [mm] \* [/mm] a in der Verknüpfung (a,b) [mm] \* [/mm] (c,d)? hab ja gar kein c und d?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Fr 22.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Jetzt sieht die Sache etwas klarer aus.
Ich bezeichne die normale Multiplikation mit ab, die neue Verknüpfung mit *.
Laut Aufgabenstellung ist (a,b)*(c,d):=(ac, ad+b).
a) (a,b)*(c,d)=(c,d)*(a,b)? Das ist das gleiche wie (ac, ad+b)=(ca, cb+d)=(ac, bc+d)? Also gilt Kommutativität für * nicht.
b) Hier ist das Alphabet bald am Versagen, aber gemeint ist ((a,b)*(c,d))*(e,f)=(a,b)*((c,d)*(e,f))?
c) und d) sind ein bisschen kniffliger. Bei c) musst du die Existenz eines Neutralen beweisen. Gibt es ein Element (e,f), so dass für alle [mm] (a,b)\in\IQ\times\IQ [/mm] gilt: (e,f)*(a,b)=(a,b). Dazu löst du das harmlose LGS
ea=a
eb+f=b
mit e und f als Unbekannte.
Bei d) geht es um das Inverse. Wie in c) vorgehen.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Fr 22.06.2007 | | Autor: | annklo |
danke,ich versuch das mal- das prinzip hab ich jetzt aber verstanden,wenn ich noch fragen hab oder es nicht hinbekomme,meld ich mich nochmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 22.06.2007 | | Autor: | annklo |
Also a) und b) hab ich verstanden- bei c) hab ich raus (e,f)=(1,0), dann gilt (e,f) [mm] \* [/mm] (a,b) = (a,b) ,wie schriebe ich das auf?
Bei d) hab eich noch Probleme ich hab folgendermaßen angefangen:
(a',b') [mm] \* [/mm] (a,b) = (e,f)
(a'a,a'b+b')=(e,f)
also a'a=e
und a'b+b'=f
war das so richtig? was mach ich jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 22.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Also a) und b) hab ich verstanden- bei c) hab ich raus
> (e,f)=(1,0), dann gilt (e,f) [mm]\*[/mm] (a,b) = (a,b) ,wie schriebe
> ich das auf?
Als Lösung des LGS, siehe Post von vorhin.
> Bei d) hab eich noch Probleme ich hab folgendermaßen
> angefangen:
> (a',b') [mm]\*[/mm] (a,b) = (e,f)
> (a'a,a'b+b')=(e,f)
> also a'a=e
> und a'b+b'=f
Ja, richtig. Jetzt setzst du für e 1 und für f 0 ein löst nach a' und b' auf.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 24.06.2007 | | Autor: | Tvenna |
Hallo!
Ich habe bisher keine Probleme mit der Aufgabe gehabt, aber jeweils das inverse Element macht mir zu schaffen.
1) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ \setminus \{1\} \exists [/mm] a' [mm] \in \IQ [/mm] : a' [mm] \* [/mm] a = e
Bei dieser Aufgabe komme ich leider einfach nicht weiter...
[mm] 2)\forall [/mm] (a,b) [mm] \exists [/mm] (a',b') [mm] \in \IQ \times \IQ [/mm] : (a',b') [mm] \* [/mm] (a,b) = (e,f)
da ist ja nach Vor. e= a'a und f= a'b+b'
in der Aufgabe zuvor habe ich ausgerechnet dass e=1 und f=0
Ist dann nun a'=1/a und b' = 0 ?
Habt ihr vielleicht einen Tip?
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> 1) [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IQ \setminus \{1\} \exists[/mm] a' [mm]\in \IQ[/mm] :
> a' [mm]\*[/mm] a = e
Hallo,
Du hast ja bereits e=1 ausgerechnet.
Wenn es solch ein inverses Element a' gibt, dann ist also
[mm] 1=a'\odot [/mm] a=a'+a-a'a
Nun löses das nach a'auf.
==>a'=...
Wenn es ein Inverses gibt, sieht es so aus wie berechnet. Jetzt mußt Du noch testen, ob es tut, was es soll.
Ist wirklich [mm] ...\odot [/mm] a=1?
> [mm]2)\forall[/mm] (a,b) [mm]\exists[/mm] (a',b') [mm]\in \IQ \times \IQ[/mm] :
> (a',b') [mm]\*[/mm] (a,b) = (e,f)
Ähnlich wie oben mußt Du herausfinden, für welche a',b' gilt:
(1,0)=(a'a,a'b+b').
Dies kann nur gelten, wenn 1=a'a und 0=a'b+b'.
Also, wie Du auch schreibst, für [mm] a'=\bruch{1}{a} [/mm] , [mm] (a\not=0) [/mm] und b'folglich
[mm] b'=\bruch{-b}{a}.
[/mm]
Nun prüfe, ob [mm] (a',b')*(a,b)=(\bruch{1}{a},\bruch{-b}{a})*(a,b)=(1,0).
[/mm]
Gruß v. Angela
> da ist ja nach Vor. e= a'a und f= a'b+b'
> in der Aufgabe zuvor habe ich ausgerechnet dass e=1
> und f=0
> Ist dann nun a'=1/a und b' = 0 ?
> Habt ihr vielleicht einen Tip?
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> Gegeben sei in [mm]\IQ \times \IQ[/mm] die Verknüpfung [mm]\*[/mm] mit
> (a,b) [mm]\*[/mm] (c,d) := (a * c , a * d+b)
> Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften
> a) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IQ: a\*b[/mm] = [mm]b\*a[/mm]
> b) [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in \IQ: (a\*b)\*c[/mm] = [mm]a\*(b\*c)[/mm]
> c) [mm]\exists[/mm] e [mm]\in \IQ \forall[/mm] a [mm]\in \IQ: e\*a[/mm] = a
> d) [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IQ[/mm] \ {1} [mm]\exists[/mm] a' [mm]\in \IQ:[/mm] a' [mm]\*[/mm] a =
> e
> auf die Verküpfung [mm]\*[/mm] zutreffen (nicht zutreffen).
Hallo,
ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, daß die Aufgabe so gestellt ist.
Steht da nicht eher (oder soll stehen!) z.B. bei a)
a) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IQ x \IQ : a\*b[/mm] = [mm]b\*a[/mm]
Nur so hätte die Aufgabe in meinen Augen Sinn.
Denn daß die normale Multiplikation in [mm] \IQ [/mm] kommutativ ist, dürfte ja bekannt sein.
Auch die Passage
> auf die Verküpfung [mm]\*[/mm] zutreffen (nicht zutreffen).
deutet daraufhin, daß man mit der neuen Verknüpfung, welche für Zahlenpaare definiert ist, etwas tun soll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Do 21.06.2007 | | Autor: | annklo |
Da steht nur [mm] \IQ [/mm] nicht [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ.
[/mm]
Hat niemand eine Idee dazu?
Danke schonmal für eure Mühe
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