Verknüpfung von Ereignissen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
Hi alle zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit der Verknüpfung von Ereignissen und ihren Wahrscheinlichkeiten. Da gibt es ja P(A∩B), P(A∪B) und dann noch die De Morganschen Regeln. ich dachte man berechnet P(A∩B)= P(A)*P(B) und P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B) !
Ich bin bis jetzt aber immer mit der Tabellenmethode vorgegangen, die aufgabe hieß: Vervollständigen sie die nebenstehende Vierfeldertafel!
geg.: P(B)= 0,75, P(A)= 0,6; P(AStrich n BStrich)= 0,2 ; diese 0,2 habe ich dann in das Kästchen eingetragen (Tabelle siehe unten), wo sich die beiden bedingungen treffen. Logischerweise müssen für A und B die gegenergebnisse 1-A bzw. 1-B lauten. Die Reihen in der Tabelle zusammenaddiert müssen den Jeweiligen Wert für P(A); P(B) usw. ergeben und die vier Werte innerhalb der Tabelle ergeben zudem zusammenaddiert auch immer 1, sodass man relativ leicht alles berechnen kann. Diese Ergebnisse stimmen aber nicht mit der oben beschrieben Berechnungsweise überein. Wo liegt mein Fehler?
A A (Strich)
B 0,55 0,2 0,75
B (Strich) 0,05 0,2 0,25
0,6 0,4
D.H. P(A) = 0,6, demnach ist P(A Strich)= 0,4; Für B dann 0,75 usw. .
P(A∪B)= 0,8 (0,55+0,05+0,2); P(A∩B)= 0,55 usw.
Viele Liebe Grüße,
Mathilda.
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Hiho,
> ich dachte man berechnet P(A∩B)= P(A)*P(B)
Da dachtest du falsch. Das gilt nur im Fall, wenn A und B unabhängig sind.
Untersuch als Sonderfall doch einfach mal A=B, was steht dann links und was steht rechts?
> und P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B)
Das gilt entgegen immer.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
mmh,
das begreife ich jetzt nicht ganz. Es ändert doch nicht viel mit der Tatsache wenn P(A)=P(B), ...? In welcher Gleichung soll ich dass denn einsätzen wenn meine erste nur bei stochastischer Unabhängigkeit gilt... ?
grüße,
mathilda
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Hiho,
> mmh,
> das begreife ich jetzt nicht ganz. Es ändert doch nicht
> viel mit der Tatsache wenn P(A)=P(B), ...? In welcher
> Gleichung soll ich dass denn einsätzen wenn meine erste
> nur bei stochastischer Unabhängigkeit gilt... ?
nein, du solltest dir klar machen, dass [mm] $\IP(A \cap [/mm] B) = [mm] \IP(A)\IP(B)$ [/mm] nur bei Unabhängigkeit gilt, indem du einfach mal $A=B$ setzt.
Was ist dann $A [mm] \cap [/mm] B$? Dann steht links was?
Und rechts steht dann?
Für welche A gilt die entstehende Gleichung?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
ich steh glaub ich gerade auf dem schlauch
aber nach eurer anleitung wäre bei A=B dann [mm] P(A∩A)={P(A)}^2
[/mm]
oder wie. aber okey, ich hab auf jeden fall begriffen das die regel nur bei stochastischer unabhängigkeit gilt, fragt sich eben nur wie man so eine unabhängigkeit erkennt bzw. wie sie definiert ist. also was genau besagt diese unabhängigkeit? man rechnet hier doch immer mit Teilereigbnissen aus einer Ereignismenge. Die sind doch irgendwie immer voneinander abhängig oder nicht??
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Hallo,
> fragt sich eben nur wie man so eine unabhängigkeit erkennt
> bzw. wie sie definiert ist. also was genau besagt diese
> unabhängigkeit? man rechnet hier doch immer mit
> Teilereigbnissen aus einer Ereignismenge. Die sind doch
> irgendwie immer voneinander abhängig oder nicht??
Die stochastische Unabhängigkeit ist selbstverständlich definiert: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig genau dann, wenn
[mm] P({A}\cap{B})=P(A)*P(B)
[/mm]
gilt. Erkennen kann man sie daran, dass bspw. die Tatsache ob B eintritt oder nicht keinen Einfluss auf P(A) hat.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
also gibt es für stochastisch abhängige ereignisse keine formel zu berechnung von P(A∩B) ?
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Hallo,
> also gibt es für stochastisch abhängige ereignisse keine
> formel zu berechnung von P(A∩B) ?
>
doch:
[mm] P({A}\cap{B})=P(A)+P(B)-P({A}\cup{B})
[/mm]
wenn man wiederum die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung von A und B kennt.
Aber in dem Sinn eine Formel wie du es vielleicht meinst gibt es natürlich nicht: die stochastische Abhängigkeit ist ja eine Eigenschaft, die unterschiedlich stark ausgeprägt sein kann, insofern kann man nicht sagen: A und B sind abhängig, die Wahrscheinilichkeit für A und B muss dann so und so sein. Das geht natürlich nicht.
Gruß, Diophant
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Hiho,
> [mm]P(A∩A)={P(A)}^2[/mm]
Nutze doch bitte \cap für den Schnitt, dann steht da:
[mm]P(A\cap A)={P(A)}^2[/mm]
Und du solltest nun erkennen, dass [mm] $A\cap [/mm] A = A$ ist und dann steht da:
$P(A) = [mm] P(A)^2$
[/mm]
Für Welche A gilt das denn nun?
Dann findest du raus, welche A unabhängig von sich selbst sind 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
das würde gelten für A= 1, damit wäre das ereignis sicher!?
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Hiho,
> das würde gelten für A= 1, damit wäre das ereignis sicher!?
Nicht für A=1, sondern für P(A) = 1 !!
Das wäre eine Lösung, ja. Aber es gibt noch eine. Welche?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
P(A)= 0 wär noch ne Variante,
für A kann es doch eigentlich kein wert geben oder. A ist ja nur das ereignis, z.B. aus ner urne die schwarze kugel ziehen. AHhhhhhhhhhhhhhhhhhhh ich glaube ich habs gerade verstanden. wenn P(A)= 0 dann P(B)= 0 und dann existiert kein A∩B weil die beiden ereignisse einfach mal nicht übereinstimmen, was wiederrum heißt, dass sie unabhängig voneinander sind und damit ist die formel P(A∩B)= P(A)*P(B) anwendbar.
richtig so???
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Hiho,
> P(A)= 0 wär noch ne Variante,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für A kann es doch eigentlich kein wert geben oder. A ist
> ja nur das ereignis, z.B. aus ner urne die schwarze kugel ziehen.
> AHhhhhhhhhhhhhhhhhhhh ich glaube ich habs gerade
> verstanden. wenn P(A)= 0 dann P(B)= 0 und dann existiert
> kein A∩B weil die beiden ereignisse einfach mal nicht übereinstimmen,
Nein, aber deine Idee ist schonmal nicht schlecht.
$P(A) = 0$ heißt einfach nur, dass das Ergebnis unmöglich ist.
[mm] $A\cap [/mm] B$ ist aber eine Teilmenge von A und damit auch Nullmenge und daher unmöglich.
> was wiederrum heißt, dass sie unabhängig
> voneinander sind und damit ist die formel P(A∩B)=
> P(A)*P(B) anwendbar. richtig so???
"Die Formel" ist ja gerade die Definition für Unabhängigkeit.
Merke also: Ist A eine Nullmenge oder ein sicheres Ereignis, dann ist es zu jedem B unabhängig (lustigerweise also auch zu sich selbst, wenn man B=A wählt, d.h. ob A eintritt ist unabhängig davon, ob A eintritt).
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hjoerdis |
okey, hat ne weile gedauert aber es hat klick gemacht ;), ist ja logisch wenn das ereignis A zu 100% oder 0% eintritt, kann ein es ja nicht von einem anderem Ereignis beeinflusst werden.
vielen dank,
mathilda.
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