Verknüpfungen des Körpers K < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 21.11.2009 | | Autor: | SADlerin |
| Aufgabe | Für einen Belibigen Körper K können wir n x n Matrizen muliplizieren, das Ergebnis ist wieder eine n x n Matrix - damit haben wir eine Verknüpfung auf der Maenge aller n xn Matrizen.
1: Zeigen sie, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist.
2: Zeigen sie, dass es ein neutrales Element gibt und welches ist es?
3: Geben sie (für ein geeignetes n) irgendein invertierbares Element x an
4: Geben sie das Inverse von x an
5: Geben sie (für ein geeignetes n) irgendein nicht-invertierbares Element an |
Hallo,
hab die Aufgabe gestellt bekommen und hab null Ahnung um was es geht.Wäre daher sehr an einer Lösung mit Erklärung interessiert,weil ich des scho gern lernen würde.
Danke
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> Für einen Belibigen Körper K können wir n x n Matrizen
> muliplizieren, das Ergebnis ist wieder eine n x n Matrix -
> damit haben wir eine Verknüpfung auf der Maenge aller n xn
> Matrizen.
> 1: Zeigen sie, dass diese Verknüpfung kommutativ und
> assoziativ ist.
> 2: Zeigen sie, dass es ein neutrales Element gibt und
> welches ist es?
> 3: Geben sie (für ein geeignetes n) irgendein
> invertierbares Element x an
> 4: Geben sie das Inverse von x an
> 5: Geben sie (für ein geeignetes n) irgendein
> nicht-invertierbares Element an
> Hallo,
> hab die Aufgabe gestellt bekommen und hab null Ahnung um
> was es geht.Wäre daher sehr an einer Lösung mit
> Erklärung interessiert,weil ich des scho gern lernen
> würde.
Hallo,
die einleitenden Worte finde ich wahrlich auch etwas seltsam. Ist das der Originaltext?
"Für einen beliebigen Körper können wir nxn-Matrizen multiplizieren"...
Nun, es wird aber schnell klar, worum es geht:
um die Multiplikationen von nxn-Matrizen, deren Einträge einem beliebigen Körper entstammen.
Wie man Matrizen multipliziert, wurde bereits besprochen, und Du sollst nun gewisse Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen nachweisen.
1. Alerdings werde ich nun stutzig: die Kommutativität der Matrixmultiplikation zu zeigen, wird einem schwerlich gelingen.
Gibt es Elemente der Aufgabenstellung, die Du nicht verraten hast?
Die Assoziativität kannst Du zeigen, indem Du für Matrizen A,B,C das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von (AB)C und A(BC) vorrechnest.
2. Gesucht ist eine Matrix N, so daß für alle Matrizen B gilt NB=BN=B.
Ich denke, bis hierher reicht's erstmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 21.11.2009 | | Autor: | SADlerin |
ja,das ist der Orginaltext und ich hab nix ausgelassen.Deshalb versteh ich des ja a ned ganz^^
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Hallo,
die Kommutativität widerlegst Du, indem Du einen Körper angibst und ein Beispiel vorrechnest für zwei Matrizen, bei denen was verschiedenes herauskommt, wenn Du sie in verschiedener Reihenfolge multiplizierst.
Ansonsten fang erstmal an, so wie ich es gesagt habe.
Wegen Körper K mußt Du keine grauen Haare kriegen. In Körpern gelten ja die Gesetze wie in [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 24.11.2009 | | Autor: | frato |
Hallo,
ich bin gestern über diesen beitrag gestollpert und bin mir über die lösung nicht ganz im klaren. da auch noch nichts gepostet wurde, habe ich mir heute mal eine eigene überlegt, und würde gerne wissen, ob das so stimmt:
also zur assoziativität:
Sei i=j und A,B,C [mm] \varepsilon [/mm] (i,j;K)
[mm] [A(BC)]_{ij}= \summe_{k} a_{ik}(BC)_{kj}= \summe_{k}a_{ik}(\summe_{l}b_{kl}c_{lj}) [/mm] = [mm] \summe_{l}(\summe_{k}a_{ik}b_{kl})c_{lj}=\summe_{l}(AB)_{il}c_{lj}=[(AB)C]_{ij}
[/mm]
die nicht-kommutativität könnte man ja über folgendes gegenbeispiel zeigen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
das neutrale Element wäre:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1*a+0*b & 0*a+1*b \\ 1*c+0*d & 0*c+1*d }=\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Ich weiß nicht ob es so stimmt, deswegen würde ich mich über verbesserungen freuen...
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> Hallo,
> ich bin gestern über diesen beitrag gestollpert und bin
> mir über die lösung nicht ganz im klaren. da auch noch
> nichts gepostet wurde, habe ich mir heute mal eine eigene
> überlegt, und würde gerne wissen, ob das so stimmt:
>
> also zur assoziativität:
> Sei i=j und A,B,C [mm]\varepsilon[/mm] (i,j;K)
>
$ [mm] [A(BC)]_{ij}= \summe_{k} a_{ik}(BC)_{kj}= \summe_{k}a_{ik}(\summe_{l}b_{kl}c_{lj}) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{l}(\summe_{k}a_{ik}b_{kl})c_{lj}=\summe_{l}(AB)_{il}c_{lj}=[(AB)C]_{ij} [/mm] $
> =
Hallo,
ja, so hatte ich mir das vorgestellt.
Ich würde noch ein bißchen was dazwischenschieben:
$ [mm] [A(BC)]_{ij}= \summe_{k} a_{ik}(BC)_{kj}= \summe_{k}a_{ik}(\summe_{l}b_{kl}c_{lj}) [/mm] $= [mm] \summe_{k}(a_{ik}\summe_{l}b_{kl}c_{lj}) [/mm] = [mm] \summe_{k}(\summe_{l}a_{ik}(b_{kl}c_{lj})) [/mm] = [mm] \summe_{k}(\summe_{l}(a_{ik}b_{kl})c_{lj})) [/mm] $ [mm] \summe_{l}(\summe_{k}(a_{ik}b_{kl}))c_{lj}=\summe_{l}(AB)_{il}c_{lj}=[(AB)C]_{ij} [/mm] $
Und dann och jedesmal das gesetz angeben.
> die nicht-kommutativität könnte man ja über folgendes
> gegenbeispiel zeigen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
ja.
>
> das neutrale Element wäre:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1*a+0*b & 0*a+1*b \\ 1*c+0*d & 0*c+1*d }=\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
>
> Ich weiß nicht ob es so stimmt, deswegen würde ich mich
> über verbesserungen freuen...
Es ist recht gut gelungen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Mi 25.11.2009 | | Autor: | frato |
Ok. Vielen Dank!
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