Verknüpfungsgebilde < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Jacque |
| Aufgabe | Seien (G,*) eine Gruppe mit a,b [mm] \in[/mm] G mit a^-1. Mit a^-1 werde das inverse Element zu a [mm] \in[/mm] G bezeichnet. Zeigen Sie:
a) die Gleichung a * x = b ist eindeutig lösbar.
b) (a^-1)^-1 = a
c) (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1
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Zu a) habe ich jetzt schonmal eine komplette Lösung, nur ich bin mir nicht sicher ob diese richtig ist...
Sei a^-1 das inverse Element bzgl. der Verknüpfung * zu a, dann gilt:
a*(a^-1 * b)
= (a * a^-1) * b
i.e. = e * b
n.e. = b
Also ist x = a^-1 * b eine Lösung der Gleichung a * x = b. a * b ist aber auch die einzige Lösung, denn es gilt:
a * x = b
a^-1 * (a*x) = a^-1 * b
= (a^-1 *a) * x = a^-1 * b
i.e. = e * x = a^-1 * b
n.e. = x = a^-1 * b
eindeutige Lösung, da a^-1 eindeutig bestimmt ist.
wir haben uns in der Mathe Vorlesung folgende Definition aufgeschrieben darauf beziehnt es sich: Ist * eine Multiplikation so bezeichnet man e als Einselement und das zu a inverse Element mit a^-1
Bei b und c stehe ich aber jetzt leider auf dem Schlauch oder kriege den Anfang nicht richtig hin... Vll kann jemand helfen und schauen ob die a so richtig ist oder man etwas verbessern muss...
Danke und LG
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Hi, ich fange einfach mal von hinten an, da so vielleicht die anderen Aufgaben auch kein Problem mehr darstellen.
Wenn [mm] a^{-1} [/mm] das Inverse von a bezcihnet, dann wissen wir doch, dass folgendes gelten soll:
[mm] a^{-1}a=a*a^{-1}=e
[/mm]
wobei e das neutrale Element bezeichnet.
Na dann mal los:
[mm] (ab)^{-1} [/mm] ist das Inverse von ab, damit
[mm] (ab)^{-1}(ab)=(b^{-1}a^{-1})(ab)=...
[/mm]
führe dies nun zum Ziel.
Aufgabe b) ist ähnlich. Man muss eben kurz überlegen und die Eindeutigkeit des neutralen Elementes bedenken.
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