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Zeigen Sie, dass für eine Zahl m [mm] \le [/mm] 1 die Verknüpfungstafel [aij] mit 0 [mm] \le [/mm] aij [mm] \le [/mm] m-1 und ai+1;j [mm] \equiv [/mm] aij+1 (mod m),
eine Gruppentafel ist.
Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll...
Ich weiß nur das i = Zeile und j= Spalte bedeutet
Ich weiß das eine Gruppentafel paarweise verschiedene Eingänge und Ausgänge hat ....und wenn ich die Tafel oder sind es 2 Tafeln hingeschrieben hab muss ich noch die Gesetze anwenden...
Aber wie sind die beiden oder die eine Tafel....ich verstehe die Aufgabenstelleung schon gar nicht....
Es wäre nett, wenn ihr mir trotz meines sehr dürftigen Lösungsansatzes helfen würdet....
Danke
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> Zeigen Sie, dass für eine Zahl m [mm]\le[/mm] 1 die
> Verknüpfungstafel [aij] mit 0 [mm]\le[/mm] aij [mm]\le[/mm] m-1 und
> ai+1;j [mm]\equiv[/mm] aij+1 (mod m),
> eine Gruppentafel ist.
Hallo,
hattet Ihr die Restklassen modulo m schon?
Falls ja, würde man die Aufgabe -wenn man sofort verstanden werden möchte - so formulieren:
Zeige durch Aufstellen einer Gruppentafel, daß die Restklassen modulo m zusammen mit der entsprechenden Addition eine Gruppe bilden.
Oder:
Sei [mm] \IZ_m:= [/mm] { 0,1,2,...,m-1 } und sei eine Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] in [mm] \IZ_m [/mm] wie folgt erklärt
a [mm] \oplus [/mm] b= (a+b) mod m.
Stelle die Verknüpfungstafel auf, und zeige, daß [mm] (\IZ_m, \oplus) [/mm] eine Gruppe ist.
Ich zeig' Dir mal für m=5 die gesuchte Gruppentafel.
[mm] \oplus [/mm] | 0 1 2 3 4
0 | 0 1 2 3 4
1 | 1 2 3 4 0
2 | 2 3 4 0 1
3 | 3 4 0 1 2
4 | 4 0 1 2 3
Die Gruppeneigenschaft sieht man in einer Verknüpfungstafel ganz schnell. Wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Element der Menge genau einmal vorkommt, hat man eine Gruppe.
Ich hoffe, Du verstehst jetzt, was man von Dir will.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll...
>
> Ich weiß nur das i = Zeile und j= Spalte bedeutet
> Ich weiß das eine Gruppentafel paarweise verschiedene
> Eingänge und Ausgänge hat ....und wenn ich die Tafel oder
> sind es 2 Tafeln hingeschrieben hab muss ich noch die
> Gesetze anwenden...
>
> Aber wie sind die beiden oder die eine Tafel....ich
> verstehe die Aufgabenstelleung schon gar nicht....
>
> Es wäre nett, wenn ihr mir trotz meines sehr dürftigen
> Lösungsansatzes helfen würdet....
>
> Danke
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Ja das hatten wir schon aber unser Tutor hat irgend was mit Matrizen gesagt....
Kann ich nicht einfach, das so machen....
[mm] \pmat{aij & ai;j+1 & ai;j+2; & ... & ai;m-1 \\ ai+1;j & ai+2;j \\ ai+2;j \\ ... \\ am-1;j & ... & ... & ... & am-1;jm-1} [/mm]
Das ist jetzt meine Allgemeine Matrix und meine allgemeine Matrix mit Zahlen und meinem m wäre dann die....
[mm] \pmat{0 & 1 & 2 & 3 & ... & m-1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & ... & 0 \\ 2 & 3 & ... & ... & ... & 1 \\ ... & ... & ... \\ ... & m-1 \\ m-1 & 0 & ... & ... & ... & m-2}
[/mm]
Gesetze:
1) a [mm] \otimes [/mm] (b [mm] \otimes [/mm] c) = (a [mm] \otimes [/mm] b) [mm] \otimes [/mm] c , für alle Elemente a,b,c aus der Menge.
z.B. 0 [mm] \otimes [/mm] (1 [mm] \otimes [/mm] 2) = (0 [mm] \otimes [/mm] 1) [mm] \otimes [/mm] 2
0 [mm] \otimes [/mm] 3 = 1 [mm] \otimes [/mm] 2
3 = 3
2) Existenz von Einheit a [mm] \otimes [/mm] e = a = e [mm] \otimes [/mm] a
(e sei Einheitselement)
z.B. 2 [mm] \otimes [/mm] 0 = 2 = 0 [mm] \otimes [/mm] 2
3) Existenz von Inversen a [mm] \otimes [/mm] b = e = b [mm] \otimes [/mm] a
z.B. 1 [mm] \otimes [/mm] m-1 = 0 = m-1 [mm] \otimes [/mm] 1
=> Damit ist bewiesen, dass die Verknüpfungstafel eine Gruppentafel ist...
=> Ferner ist die Verknüpfungstafel eine Gruppentafel, da durch inspektion schnell gesehen werden kann, dass die Gruppentafel paarweise verschiedene Ein- & Ausgänge hat.
Kann man die Aufgabe genau so beantworten ist das alles was ich gemacht habe richtig?
Bitte melde sich einer !
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> [mm]\pmat{aij & ai;j+1 & ai;j+2; & ... & ai;m-1 \\ ai+1;j & ai+2;j \\ ai+2;j \\ ... \\ am-1;j & ... & ... & ... & am-1;jm-1}[/mm]
>
> Das ist jetzt meine Allgemeine Matrix und meine allgemeine
> Matrix mit Zahlen und meinem m wäre dann die....
>
> [mm]\pmat{0 & 1 & 2 & 3 & ... & m-1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & ... & 0 \\ 2 & 3 & ... & ... & ... & 1 \\ ... & ... & ... \\ ... & m-1 \\ m-1 & 0 & ... & ... & ... & m-2}[/mm]
Ja, das ist doch genau meine Verknüpfungstafel!
>
> Gesetze:
> 1) a [mm]\otimes[/mm] (b [mm]\otimes[/mm] c) = (a [mm]\otimes[/mm] b) [mm]\otimes[/mm] c , für
> alle Elemente a,b,c aus der Menge.
>
> z.B. 0 [mm]\otimes[/mm] (1 [mm]\otimes[/mm] 2) = (0 [mm]\otimes[/mm] 1) [mm]\otimes[/mm] 2
> 0 [mm]\otimes[/mm] 3 = 1
> [mm]\otimes[/mm] 2
> 3 =
Es reicht überhaupt nicht, die Gesetzte an Beispielen zu zeigen.
Das muß man schon allgemein machen, denn sonst wäre man fürchterlich lange beschäftigt.
> 3
> 2) Existenz von Einheit a [mm]\otimes[/mm] e = a = e [mm]\otimes[/mm] a
> (e sei Einheitselement)
>
> z.B. 2 [mm]\otimes[/mm] 0 = 2 = 0 [mm]\otimes[/mm] 2
>
> 3) Existenz von Inversen a [mm]\otimes[/mm] b = e = b [mm]\otimes[/mm] a
>
> z.B. 1 [mm]\otimes[/mm] m-1 = 0 = m-1 [mm]\otimes[/mm] 1
>
> => Damit ist bewiesen, dass die Verknüpfungstafel eine
> Gruppentafel ist...
Bisher ist noch nichts bewiesen, s.o.
Bewiesen ist es schnell, wenn man darauf hinweist, daß in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommt. Fertig.
> => Ferner ist die Verknüpfungstafel eine Gruppentafel, da
> durch inspektion schnell gesehen werden kann, dass die
> Gruppentafel paarweise verschiedene Ein- & Ausgänge hat.
Versteh ich nicht.
Gruß v. Angela
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Du hast doch geschrieben, das ich einfach darauf hinweisen soll das in jeder Zeile und Spalte jedes Element von einer Gruppe nur einmal vorkommt....das ist meiner Meinung nach gleichbedeutend mit paarweise verschiedene Ein und Ausgänge...
Und du meinst das würde als Beweis reichen?
Kann ich das dann alles so wie ich es jetzt da stehn hatte so da hinschreiben?
Ist die erste tafel auch richtig bin mir mit dem m nicht so sicher?
Oder was muss ich genau noch verändern, was fehlt noch oder was muss ich noch machen um das richtig zu haben....mir leigt echt viel daran....muss das ja auch verstehen...spätestens für meine Klausur brauch ich das ja....
Danke....(im übrigen echt nett von dir das du mir immer Antwortest, danke!)
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Oh nein, oh nein, da ist mir doch eben die ganze frohe Botschaft an Dich vom Bildschirm verschwunden... Wahrscheinlich wieder mal ein Bedienfehler.
> Du hast doch geschrieben, das ich einfach darauf hinweisen
> soll das in jeder Zeile und Spalte jedes Element von einer
> Gruppe nur einmal vorkommt....das ist meiner Meinung nach
> gleichbedeutend mit paarweise verschiedene Ein und
> Ausgänge...
Ich kann das mit den Ein- und Ausgängen nicht entscheiden, weil ich nicht weiß, was damit gemeint ist.
Zeigen mußt du die Assoziativität, soviel ist klar, wahrscheinlich habt Ihr das aber bereits in der Vorlesung getan, so daß Du nur darauf hinweisen mußt.
Für den Nachweis der Gruppeneigenschaft reicht eigentlich der Hinweis auf diese Zeilen-Spalten-Geschichte - wenn das oder die Kürzungsregel in der Vorlesung angesprochen wurde.
Ansonsten mußt Du die Existenz des neutralen Elementes zeigen, das ist einfach.
Dann noch das inverse Element. Und zwar das Inverse zu JEDEM Element, nicht nur ein Beispiel.
> Ist die erste tafel auch richtig bin mir mit dem m nicht so
> sicher?
Dein Unbehagen ist begründet. Für diese Matrix kannst Du schreiben [mm] (a_{ij})_{1 \łe i,j \le m-1} [/mm] oder so ähnlich, wenn Du sie aber ausschreibst, wie Du es getan hast, steht oben links [mm] a_{1,1}, [/mm] daneben [mm] a_{1,2} [/mm] usw. und am Ende der Zeile [mm] a_{1,m}. [/mm] Die zweite Zeile beginnt mit [mm] a_{2,1}, [/mm] ich denke, Du kannst das jetzt fortsetzen. Beispiel: In der 5.Zeile steht in der 3.Spalte [mm] a_{5,3}
[/mm]
Die Verwirrung entsteht, weil die [mm] a_{i,j} \in [/mm] {0,1,2,...,m-1}, die Indizes aber laufen von 1 bis m.
Du könntest das allerdings "synchronisieren", indem Du Deine Indizes bei 0 loslaufen läßt und dann eben nur bis m-1. Dann stünde links oben [mm] a_{0,0} [/mm] und rechts oben [mm] a_{0,m-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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HY also wie jetzt....ich schreib meine Matrizen in der veränderten Form beide hin, dann sag ich das mit der Assoziativität und bring vielleicht noch ein paar beispiel...dann ag ich das mit den Zeilen und Spalten und sag aber dann noch das mit der Existens von dem Einheitselement , quasi
0 * 0 = 0
0 * 1= 1
0* 2= 2
0* 3= 3
0*m-2 = m-2
0*m-1= m-1
0*m = m
damit Einheitselement bewiesen
Beweis der Existenz von Inversen
0*0= 0= 0*0 d.h. 0 ist zu sich selbst invers
3*3=0= 3*3 d. h. 3 ist zu sich selbst invers
1*m-1= 0 = m-1*0 d.h. m-1 ist zu 1 invers
2*m-2 =0= m-2*2 d.h. m-2 ist invers zu 2
Damit ist Existens von Inversen bewiesen., mehr bespiele kann ich nicht bringen weil tabelle nicht vollständig.
Wäre es dann das jetzt gewesen?
Ich weiß mir nicht mehr zu helfen ich hab keine Ideen mehr...
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Jetzt ganz gut aufgepaßt.
Es beginnt etwas durcheinander zu laufen. Du mußt fein säuberlich unterscheiden, ob Du es mit einer Addition zu tun hast, dann nennt man das neutrale Element 0.
Oder mit einer Multiplikation, dann heißt es 1.
Eine gruppe kann man multiplikativ oder additiv schreiben, aber mischen darfmanees nie,nie, nie. Sei Dir immer klar drüber, bzgl. welcher Verknüpfung Du gerade nachdenkst.
Du hast jetzt deine additive Gruppe irgendwie mit einer multiplikativen Struktur versehen.
> ich schreib meine Matrizen in der
> veränderten Form beide hin, dann sag ich das mit der
> Assoziativität und bring vielleicht noch ein paar
> beispiel..
Die kannst du Dir sparen, wenn die Assoziativität gezeigt wurde in der Vorlesung.
.dann ag ich das mit den Zeilen und Spalten und
> sag aber dann noch das mit der Existens von dem
> Einheitselement , quasi
Nein. Die Existenz der Null. Die Struktur hier ist additiv.
Für alle x aus der Menge ist
> 0 [mm] \oplus [/mm] x = x [mm] \oplus [/mm] 0 =x
damit Existenz vom
Nullelement bewiesen
>
> Beweis der Existenz von Inversen
Wenn Du ein x vorgegeben hast, was mußt Du dann addieren, um auf Null zu kommen?
x [mm] \oplus [/mm] (m-x)=0! Das inverse Element zu x ist also m-x für alle x.
Dann hast Du's im Wesentlichen.
Gruß v. Angela
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