Verschieden von Normtopologie < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ [mm] (X,\|.\|)$ [/mm] ein normierter Raum , $X [mm] \neq \{0\}$ [/mm] und es sei [mm]\tau [/mm] die initiale Topologie auf X bzgl der Abbildung : $ [mm] \| [/mm] . [mm] \| \to [/mm] [0, [mm] \infty [/mm] ) $
Sei $ x [mm] \in [/mm] X$. Zeige, dass [mm] \tau [/mm] verschieden von der Normtopologie ist und finde eine Umgebungsbasis von x.
% Ich weiß nicht wieso " Tau " nicht angezeigt wird, sondern nur [mm] \tau [/mm] |
Hallo,
Also ich poste mal was ich bereits gemacht habe.
Zuerst wäre es sicherlich ratsam eine entsprechende Topologie zu konstruieren.
Seien $ (X, [mm] \tau [/mm] ) , (X', [mm] \tau' [/mm] )$ topologische Räume und $ g: X [mm] \to [/mm] X'$ eine Abbildung, welche ja genau dann stetig ist falls $ [mm] g^{-1}(A) \subseteq \tau$, [/mm] und A Basis von [mm] \tau' [/mm] . (Es würde eigentlich auch genügen, dass A Subbasis ist).
Also suchen wir eine Basis auf $[0 , [mm] \infty [/mm] )$. Wir wissen, dass die Menge aller Intervalle $(a,b)$ eine Basis der kanonischen Topologie auf [mm] \mathbb{R} [/mm] ist.
Wir definieren :
$ J = [mm] \{ (a,b) \cap [0,\infty ) : a,b \in \mathbb{R} \}$ [/mm] , die Menge all dieser Intervalle spannt die kanonische Topologie auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] auf.
Setzen wir nun $ [mm] \mathbb{B} [/mm] := [mm] g^{-1}(J) [/mm] $ so gilt , dass $ X = [mm] \bigcup_{B \in \mathbb{B}}B$ [/mm] ist. Damit ist [mm] \mathbb{B} [/mm] Basis von [mm] \tau. [/mm]
Damit lässt sich [mm] \tau [/mm] als Vereinigung folgendermaßen darstellen:
[mm] $\tau [/mm] = [mm] \{ \bigcup_{B \in C} B : C \subseteq \mathbb{B} \}$
[/mm]
Es gilt also , da X ja zumindest x enthält. $x [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] -x [mm] \in [/mm] B$ , dies gilt aufgrund der Darstellung von [mm] \tau [/mm] oben, auch für [mm] \tau. [/mm] Aber nicht für die Normtopologie. Also ist [mm] \tau [/mm] von ihr verschieden.
Ist das soweit mal in Ordnung?
Mir fällt nur leider keine Umgebungsbasis von x ein... Habt ihr da eventuell Vorschläge?
Beste Grüße
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 22.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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